概率论与数理统计(I).pptxVIP

第二节离散型随机变量一、离散型随机变量的概率分布定义2.1称为离散型随机变量的概率分布或分布律.

分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质:Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…?

例1解X的分布律为:例2设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律.

解以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为X01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234P0.50.250.1250.06250.0625

解由分布律的性质,得

二、几种重要的离散分布如果a=0,b=1,则称X服从0-1分布,记作两点分布(0-1分布)如果随机变量X只取两个值,就称X服从两点分布,一般两点分布取值为a和b,分布律为:XabPk1-pp

X01Pk0.550.45

则X服从0-1分布,其分布律为解令例2商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品,1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张,求取得合格品的概率.X01Pk0.10.6+0.3

则有P(Y=0)=0.95,P(Y=1)=0.0505从中看到X,Y都服从(0-1)分布06则有P(X=0)=0.05,P(X=1)=0.9503若定义随机变量Y为04例3在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.01若定义随机变量X为02

2.超几何分布例4在N件产品中,有M件次品.现从中随机地取出n件(不放回抽样),假如取到每件产品的机会都相等.求取出的n件产品中次品数X的分布律.其中(０≤M≤N,０≤n≤N)。解依题意,Ｘ的可能取值为０,1,2,…,n,由于从N件中任取n件,共有种取法,而n件中有X=m件次品的取法共有因此称此分布为超几何分布,记做H(n,M,N)

3.二项分布定义若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n且其分布律为则称X服从参数为n,p的二项分布,记做X~B(n,p)例5从次品率为20%的一大批产品中任取5件产品,求次品数X的分布率,并求P(X≤3)之值.解由于产品数量大,抽取件数少,可视为有放回抽样.因此每取一件产品可看作是一次试验,这是一个贝努利概型.次品数X服从二项分布B(5,0.2)

解设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数,则X~B(8,0.6),于是例6一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻:(1)??????恰有3台计算机被使用的概率是多少?(2)??????至多有2台计算机被使用的概率是多少?(3)??????至少有2台计算机被使用的概率是多少?

当k从0增加时,概率P(X=k)经历了一个从小到大,又从大变小的过程,事件“X=5”发生的概率最大,我们称之为最可能事件,“5次”为最可能次数.一般地,若X~B(n,p),则当(n+1)p是整数时,X有两个最可能次数(n+1)p及(n+1)p-1;当(n+1)p不是整数时,最可能次数为[(n+1)p](即(n+1)p的整数部分).X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168

0-1分布和二项分布的关系由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验,每次试验只有两个可能结果,即事件A发生或者不发生,如果令X01Pi1-pp

即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变01量之和,而且这n个随机变量的取值互不影响.反之,02n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布.03

超几何分布和二项分布的关系定理1如果随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),则当N→∞时，X近似地服从二项分布B(n,p),即证明见教材注：定理1表明，当一批产品总数N很大，而抽取的样品数n远小于总数N时，则不放回抽样(超几何分布)与有放回抽样(二项分布)将无很大的差别。

定义如果随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,…,01记做X~P(λ).04而取各个值的概率为02其中λ0为常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,034.泊松分布

易知1泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数,某车辆收费站每天过往车辆的台数,车站某时段候车人数及购物中心来往顾客的人数,在一个时间间隔内某种放射性物质发出的,经过计数器的粒子数等都服从泊松分布.