概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度.pptxVIP

一、连续型随机变量的概念二、常见连续型随机变量的分布三、小结第四节连续型随机变量及其概率密度

定义设X是一随机变量，若存在一个非负可积函数f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度一、连续型随机变量的概念

xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义

p.d.f.f(x)的性质1、2、常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数3、在f(x)的连续点处，f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率

事实上4对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即

由此可得：bxf(x)a连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关

f(x)xa

若X是连续型随机变量，{X=a}是不01可能事件，则有02若X为离散型随机变量,03连04续05型06离07散08型09（3）

解例1

二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度函数图形均匀分布概率密度函数演示

即X的取值在(a,b)内任何长为d–c的小区间01的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正02比.这正是几何概型的情形.03均匀分布的意义

分布函数均匀分布分布函数图形演示

例3设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.解:故所求概率为:而X的密度函数为:因此所求概率

解由题意,R的概率密度为故有例3设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．

2.正态分布(或高斯分布)高斯资料

正态概率密度函数的几何特征

正态分布密度函数图形演示

正态分布的分布函数正态分布分布函数图形演示

正态分布的应用与背景正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.

可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.正态分布还可以导出一些有用的分布。

（3）另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换

01标准正态分布的概率密度表示为02标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布

标准正态分布的图形

标准正态分布的计算：

xx

对一般的正态分布：X~N(?,?2)其分布函数作变量代换

例6已知且P(2X4)=0.3,求P(X0).解一

解二图解法0.2由图0.3

=1.645=2.575=-1.645=-2.575标准正态分布的上?分位数z?

例7设测量的误差X~N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n3所以至少要进行4次独立测量才能满足要求.

3指数分布若X的密度函数为则称X服从参数为?的指数分布记作X的分布函数为??0为常数

应用场合01用指数分布描述的实例有：02随机服务系统中的服务时间03电话问题中的通话时间04无线电元件的寿命05动物的寿命06指数分布常作为各种“寿命”分布的近似07对于任意的0ab,

例4令：B={等待时间为10~20分钟}

设随机变量X，若X的密度函数为1则称X服从参数为的伽玛（Gamma）分布,简称为分布，2注:伽玛函数具有性质：3(4)伽玛分布

01威布尔分布(自学)02截尾分布(自学)

三、小结分布函数2.常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布

Born:30Apr.1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb.1855inG?ttingen,Hanover(nowGermany)CarlFriedrichGauss高斯资料

离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布小结第五节随机变量的分布

一、离散型随机变量的函