矩阵的概念建模定稿课件.pptVIP

说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即注若方阵A，B满足AB=E，则A，B互为逆矩阵。第56页，共90页，星期日，2025年，2月5日逆矩阵的运算性质第57页，共90页，星期日，2025年，2月5日证明证明第58页，共90页，星期日，2025年，2月5日定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵第59页，共90页，星期日，2025年，2月5日第60页，共90页，星期日，2025年，2月5日第61页，共90页，星期日，2025年，2月5日第62页，共90页，星期日，2025年，2月5日交换矩阵A的第一行和第三行相当于用初等矩阵左乘矩阵A第63页，共90页，星期日，2025年，2月5日１、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中第24页，共90页，星期日，2025年，2月5日注：1、只有当左边矩阵A的列数和右边矩阵B的行数相等时，A与B才能相乘，简称为行乘列规则；2、矩阵C中第i行第j列的元素等于左矩阵A的第i行元素与右矩阵B的第j列对应元素乘积之和；3、AB仍为矩阵。它的行数等于A的行数，它的列数等于B的列数，矩阵乘法的示意图如下：第J列mxssxnmxn第i行第25页，共90页，星期日，2025年，2月5日例2：设例3：第26页，共90页，星期日，2025年，2月5日故解第27页，共90页，星期日，2025年，2月5日对于线性方程组利用矩阵表示线性方程组第28页，共90页，星期日，2025年，2月5日它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，第29页，共90页，星期日，2025年，2月5日方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为第30页，共90页，星期日，2025年，2月5日例4:利用矩阵表示线性方程组第31页，共90页，星期日，2025年，2月5日所以方程组可表示为：第32页，共90页，星期日，2025年，2月5日例5：求AB和BA(1)，(2)，(3)，第33页，共90页，星期日，2025年，2月5日解:(1)BA无意义(2)(3)第34页，共90页，星期日，2025年，2月5日注⑴只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。⑵矩阵乘法不满足交换律,AB称B右乘A，BA称B左乘A。当AB有意义时,BA不一定有意义。即使BA有意义，AB也不一定与BA相等⑶两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。即当AB=O时，不能推出A=O或B=O（与实数乘法相区别）再例如：故当AB=AC，且A≠O时，不能推出B=C。若A≠O，B≠O且AB=O时，A是B的左零因子，B是A的右零因子。零因子不唯一。第35页，共90页，星期日，2025年，2月5日单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．例6：解：第36页，共90页，星期日，2025年，2月5日若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的。由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．因为AB=BA，所以A与B可交换.例7：第37页，共90页，星期日，2025年，2月5日２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;(5)若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注矩阵不满足交换律，即：第38页，共90页，星期日，2025年，2月5日定义把矩阵的行换成列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例8：１、转置矩阵四、矩阵的转置运算第39页，共90页，星期日，2025年，2月5日2、转置矩阵的运算性质第40页，共90页，星期日，2025年，2月5日例9：已知解法1第41页，