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重积分典型题目及答案

一、题目：计算二重积分\(\iint_{D}(x^2+y^2)\,dx\,dy\)，其中\(D\)是由直线\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所围成的区域。

答案：

首先，我们需要确定区域\(D\)的边界。区域\(D\)是一个直角三角形，顶点在\((0,0)\)，\((1,0)\)和\((0,1)\)。

我们可以使用迭代积分来计算这个二重积分。选择先对\(y\)积分，然后对\(x\)积分。\(y\)的积分范围从\(0\)到\(1-x\)，\(x\)的积分范围从\(0\)到\(1\)。

\[

\iint_{D}(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy\,dx

\]

对\(y\)积分：

\[

\int_{0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy=\left[x^2y+\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{1-x}=x^2(1-x)+\frac{(1-x)^3}{3}

\]

现在，对\(x\)积分：

\[

\int_{0}^{1}\left(x^2(1-x)+\frac{(1-x)^3}{3}\right)\,dx=\int_{0}^{1}\left(x^2-x^3+\frac{1-3x+3x^2-x^3}{3}\right)\,dx

\]

合并同类项：

\[

\int_{0}^{1}\left(x^2-x^3+\frac{1}{3}-x+x^2-\frac{x^3}{3}\right)\,dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}-x+\frac{4x^2}{3}-\frac{4x^3}{3}\right)\,dx

\]

逐项积分：

\[

\left[\frac{x}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{4x^3}{9}-\frac{x^4}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}=\frac{1}{18}

\]

所以，二重积分的值为\(\frac{1}{18}\)。

二、题目：计算二重积分\(\iint_{D}e^{xy}\,dx\,dy\)，其中\(D\)是由圆\(x^2+y^2=1\)所围成的区域。

答案：

区域\(D\)是一个单位圆，我们可以使用极坐标来简化积分。在极坐标中，\(x=r\cos\theta\)和\(y=r\sin\theta\)，并且\(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)。积分的\(r\)范围从\(0\)到\(1\)，\(\theta\)范围从\(0\)到\(2\pi\)。

\[

\iint_{D}e^{xy}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}e^{r^2\cos\theta\sin\theta}r\,dr\,d\theta

\]

使用二倍角恒等式\(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\)来简化指数：

\[

e^{r^2\cos\theta\sin\theta}=e^{\frac{r^2\sin(2\theta)}{2}}

\]

现在，积分变为：

\[

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}e^{\frac{r^2\sin(2\theta)}{2}}r\,dr\,d\theta

\]

对\(r\)积分：

\[

\int_{0}^{1}e^{\frac{r^2\sin(2\theta)}{2}}r\,dr

\]

设\(u=\frac{r^2\sin(2\theta)}{2}\)，则\(du=r\sin(2\theta)\,dr\)，\(r\,dr=\frac{du}{\sin(2\theta)}\)。积分的\(u\)范围从\(0\)到\(\frac{\sin(2\theta)}{2}\)。

\[

\int_{0}^{\frac{\sin(2\theta)}{2}}e^u\frac{du}{\sin(2\theta)}=\frac{1}{\sin(2\th