概率统计点估计的评价标准.ppt

Ch7-*概率统计点估计的评价标准第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日若则称是?的无偏估计量.无偏性无偏定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日是总体X的样本,证明:不论X服从什么分布(但期望存在),是的无偏估计量.证例1设总体X的k阶矩存在因而由于例1则第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日特别地样本二阶原点矩是总体是总体期望E(X)的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日例2设总体X的期望与方差存在,X的样本为(n1).(1)不是D(X)的无偏估量;(2)是D(X)的无偏估计量.证前已证证明例2第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日因而故证毕.第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日例3设是总体X的一个样本,X~B(n,p)n1,求p2的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.令例3第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日因此,p2的无偏估计量为故第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日例4设总体X的密度函数为为常数为X的一个样本证明与都是的无偏估计量证故是?的无偏估计量.例4第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日令即故nZ是?的无偏估计量.第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日都是总体参数?的无偏估计量,且则称比更有效.定义设有效性有效第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日所以,比更有效.是?的无偏估计量,问哪个估计量更有效？由例4可知,与都为常数例5设总体X的密度函数为解，例5第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日例6设总体X，且E(X)=?,D(X)=?2为总体X的一个样本证明是?的无偏估计量(2)证明比更有效证(1)例6(1)设常数第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日(2)而结论算术均值比加权均值更有效.第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日例如X~N(?,?2),(X1,X2)是一样本.都是?的无偏估计量由例6(2)知最有效.第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若是参数?的无偏估计量,则其中p(x,?)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界.当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日例7设总体X的密度函数为为X的一个样本值.求?的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.为常数解由似然函数例7第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日?的极大似然估计量为它是?的无偏估计量.第18页，共39页，星期日，2025年，2月5日而故是达到方差下界的无偏估计量.第19页，共39页，星期日，2025年，2月5日定义设是总体参数?则称是总体参数?的一致(或相合)估计量.的估计量.若对于任意的???,当n??时,一致性依概率收敛于?,即一