函数展开成幂级数课件.pptVIP

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兩類問題:在收斂域內和函數求和展開本節內容:一、泰勒(Taylor)級數二、函數展開成冪級數函數展開成冪級數機動目錄上頁下頁返回結束一、泰勒(Taylor)級數在收斂域上，冪級數收斂於一個函數(和函數),即在機動目錄上頁下頁返回結束收斂域上可以用冪級數來表示一個函數；相反，給出一個函數f(x)，它能否在某一個區間上展開為x的冪級數？也就是說,當f(x)給定後,是否存在一個冪級數以f(x)為和函數，即：（☆）兩個問題：10什麼條件下（☆）式成立20若（☆）式成立，係數a0,a1,…,an,…如何確定1:問題20的討論即：機動目錄上頁下頁返回結束即f(x)可表示為冪級數，則在收斂若（☆）式成立，區間內有：上式兩端令,則有：f(x)=2:問題10的討論內有任意階若f(x)在x0點的某鄰域導數,那麼(☆)式是否成立呢？例如：機動目錄上頁下頁返回結束為f(x)的泰勒級數.當x0=0時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數.冪級數Def:若函數則稱的某鄰域內具有任意階導數,機動目錄上頁下頁返回結束3:什麼條件下，一個任意階可導函數可以表示成一個定理1.各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是f(x)的泰勒公式中的餘項滿足:證明:令設函數f(x)在點x0的某一鄰域內具有機動目錄上頁下頁返回結束二、函數展開成冪級數1.直接展開法由泰勒級數理論可知,第一步求函數及其各階導數在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數,並求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區間(－R,R)內是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數展開式0.的函數展開機動目錄上頁下頁返回結束例1.將函數展開成x的冪級數.解:其收斂半徑為對任何有限數x,其餘項滿足故(?在0與x之間)故得級數機動目錄上頁下頁返回結束例2.將展開成x的冪級數.解:得級數:其收斂半徑為對任何有限數x,其餘項滿足機動目錄上頁下頁返回結束類似可推出:機動目錄上頁下頁返回結束例3.將函數展開成x的冪級數,其中m為任意常數.解:易求出於是得級數由於級數在開區間(－1,1)內收斂.因此對任意常數m,機動目錄上頁下頁返回結束推導則推導目錄上頁下頁返回結束為避免研究餘項,設此級數的和函數為稱為二項展開式.說明：(1)在x＝±1處的收斂性與m有關.(2)當m為正整數時,級數為x的m次多項式,上式就是代數學中的二項式定理.機動目錄上頁下頁返回結束由此得對應的二項展開式分別為機動目錄上頁下頁返回結束例3附注機動目錄上頁下頁返回結束2.間接展開法利用一些已知的函數展開式及冪級數的運算性質,例4.將函數展開成x的冪級數.解:因為把x換成,得將所給函數展開成冪級數.機動目錄上頁下頁返回結束10變數代換法例5.將函數展開成x的冪級數.解：由的冪級數展開，得：由得機動目錄上頁下頁返回結束例6.將函數展開成x的冪級數.解:從0到x積分,得定義且連續,域為利用此題可得上式右端的冪級數在x＝1收斂,所以展開式對x＝1也是成立的,於是收斂機動目錄上頁下頁返回結束20逐項積分、逐項微分法例7.將函數展成冪級數解：兩邊積分，得右端級數當x=1和x=