62两角和与差的正弦余弦正切公式（第1-3课时）（分层练习）2022-2023学年高一数学（沪教版2020）.docxVIP

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6.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第13课时）

（分层练习）

【夯实基础】

一．选择题（共4小题）

1．设的范围是D，则函数的最小值为（）

A． B． C． D．

【分析】由已知结合同角平方关系，和差角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质求出D，然后利用换元法，结合基本不等式即可求解．

【解答】解：设t＝sinα+cosβ，

则t2+3＝2+2sinαcosβ+2sinβcosα＝2+2sin（α+β）∈[0，4]，

所以﹣1≤t≤1，即D＝[﹣1，1]，

令u＝，则u∈[1，]，2x＝u2﹣3，

所以＝＝＝，当且仅当u＝时取等号，

所以函数的最小值为log＝．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及正弦函数的性质，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．

2．已知，，且．则α﹣β是（）

A．第一象限的角 B．第二象限的角

C．第三象限的角 D．第四象限的角

【分析】由同角三角函数的平方关系求得cosα和sinβ的值，并利用两角差的正弦公式可得sin（α﹣β）的值，再结合α﹣β的取值范围求解．

【解答】解：由题意知，cosα＝﹣＝﹣，sinβ＝＝，

因为，所以α﹣β∈（﹣，），

所以sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝×（﹣）﹣（﹣）×＝＜0，

所以α﹣β∈（﹣，0），即α﹣β是第四象限的角．

故选：D．

【点评】本题考查三角函数求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

3．已知f（x）＝tanx，若存在，使得f（α）﹣f（β）＝2，则α﹣β（）

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【分析】由已知结合两角差的正切公式进行变形，然后结合二次函数性质即可求解．

【解答】解：因为，

所以tanα＞0，tanβ＞0，（1+tanβ）2＞1，

因为f（α）﹣f（β）＝tanα﹣tanβ＝2，

则tan（α﹣β）＝＝＝＝∈（0，2），

即没有最大值，也没有最小值．

故选：D．

【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题．

4．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）

A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．sin（α+β）＞cosα+cosβ

C．cos（α+β）＜sinα+sinβ D．cos（α+β）＜cosα+cosβ

【分析】对于A，B中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1＝cosα+cosβ

【解答】解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立

对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立

cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1＝cosα+cosβ

故选：D．

【点评】本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题．

二．多选题（共1小题）

（多选）5．在△ABC中，下列结论正确的是（）

A．sin（A+B）+sinC＝0 B．cos（A+B）+cosC＝0

C．sin（2A+2B）+sin2C＝0 D．cos（2A+2B）+cos2C＝0

【分析】根据A+B+C＝π以及诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．

【解答】解：选项A：因为A+B+C＝π，所以sin（A+B）+sinC＝sin（π﹣C）+sinC＝sinC+sinC＝2sinC≠0，故A错误，

选项B：由选项A可知，cos（A+B）+cosC＝cos（π﹣C）+cosC＝﹣cosC+cosC＝0，故B正确，

选项C：sin（2A+2B）+sin2C＝sin[2（π﹣C）]+sin2C＝﹣sin2C+sin2C＝0，故C正确，

选项D：cos（2A+2B）+cos2C＝cos[2（π﹣C）]+cos2C＝cos2C+cos2C＝2cos2C≠0，故D错误，

故选：BC．

【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了学生的判断能力，属于基础题．

三．填空题（共21小题）

6．将化为Asin（ωx+φ）（A＞0）的形式为2sin（x﹣）．

【分析】由题意，利用两角差的正弦公式，计算求得结果．

【解答】解：＝2（sinx﹣cosx）＝2sin（x﹣），

故答案为：2sin（x﹣）．

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于