第48讲拔高点突破02 平面向量与复数背景下的新定义问题（六大题型）（解析版）.docx

拔高点突破02平面向量与复数背景下的新定义问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：向量外积（叉积） 2

题型二：斜坐标系 5

题型三：向量新定义之新概念 10

题型四：向量新定义之新运算 14

题型五：向量新定义之新性质 18

题型六：复数新定义 22

03过关测试 26

1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解决这类复杂而有趣的数学问题。

2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力，需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，解决这类富有挑战性的数学问题。

题型一：向量外积（叉积）

【典例1-1】如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（????）

A． B．16 C． D．20

【答案】B

【解析】因为，，，所以，

所以，所以，所以.

故选：B

【典例1-2】（2024·高三·内蒙古呼和浩特·期末）若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】已知在平面直角坐标系中，、，，

因为

，

因为，则，则，

则，则，

当时，即当时，面积取最大值.

故选：A.

【变式1-1】（多选题）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（????）

A．若为非零向量，且，则

B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于

C．已知点为坐标原点，则

D．若，则的最小值为

【答案】BCD

【解析】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即，

可得，且，解得或，所以A错误；

对于B中，由，所以B正确；

对于C中，因为，可知，

则，且，可得，

所以，故C正确；

对于D中，因为，即，

可得，可知，可得，

则，

所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确，

故选：BCD.

【变式1-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，，则的值为（????）

A．5 B．7 C．2 D．

【答案】A

【解析】因为，，则，

，

则，

又，则，

则.

故选：A

【变式1-3】定义：，其中为向量，的夹角，若，，，则（????）

A．6 B． C． D．8

【答案】D

【解析】∵，∴，即，

∴，∴，

∵，∴，

∴.

故选：D.

题型二：斜坐标系

【典例2-1】（2024·云南昆明·模拟预测）向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（????）

A．点关于点O的对称点不一定为

B．A，B两点间的距离为

C．若向量平行于向量，则的值不一定为0

D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为

【答案】D

【解析】对于A，，设关于点的对称点为，则，

因为，不共线，所以，A错误；

对于B，因为，

所以，

当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距