3华东师范大学第二附属中学（创新班和理科班用）数学（高中下册）-10.doc

第十八章概率论初步与基本统计方法

18．1随机事件和古典概型

在自然界和人类社会里，经常会遇到两类不同的现象：必然现象和随机现象．

我们知道，我们生活的地球，每天都在绕着太阳旋转；把一块石头抛向空中．它会掉到地面上来；每个人随着岁月的消逝，一定会衰老、死亡……这类现象称为必然现象．必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象．

另一类现象是随机现象，它们具有这样的特点：当在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同．事先很难预料哪一种结果会发生．例如：

（1）我们通常把印有l元的一面称为正碰．现在任意抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可出现“正面朝上”，也可能出现“反面朝上”，究竟得到哪一种结果，不可能事先确定，这就是一种随机现象．

（2）姚明在篮球场的罚球线投篮，他可能投进，也可能投不进，即使我们知道他的技术超好，我们最多只能说，他投进的可能性很大．并不能保证每球必进，因此这也是一种随机现象．

为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行观察．我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验．把观察结果或实验结果统称为试验结果．

当我们在同样的条件下重复进行试验时．有的结果始终不会发生．把它称为不可能事件，记作；有的结果在每次试验中一定会发生，把它称为必然事件，记作．在试验中可能发生，也可能不发生的结果成为随机事件．

如果练习投篮的姚明决定投篮10次．那么“他投进11次”是不可能事件，“他投进的次数比11小”是必然事件，“他投进9次”是随机事件．

在一次试验中，我们常常关心的是所有可能发生的基本结果．它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件．

如果一个试验满足以下两个特征：

（1）有限性在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；

（2）等可能性每个基本事件发生的可能性是均等．

我们称这样的试验为古典概型．如在掷硬币试验中，这个试验只有两个基本事件：正面朝上和反面朝上，而且由于硬币的质地是均匀的．因而直观上可以认为出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性是均等的．这个试验就属于古典概型．

对于必然事件、不可能事件和随机事件，下面四个事实值得我们注意：

两者的联系在于，对立事件属于一种特殊的互斥事件．它们的区别可以通过定义看出来．一个事件本身与其对立事件的并集等于总的样本空间；而若两个事件互为互斥事件，表明一者发生则另一者必然不发生，但不强调它们的并集是整个样本空间．即对立必然瓦斥，互斥不一定会对立．即“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件．

例1．从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．

（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回．

例2．现有一批产品共10件，其中8件是正品，2件是次品．

（1）若从中取1件．然后放回，再取1件，再放回，再取1件．求连续3次取到的都是正品的概率；

（2）若从中一次取3件产品．求取H；的3件产品都是正品的概率．

解：我们可以将产品编号为1至10号．

例3．甲、乙两小组各有10位同学．他们的身高统计如下（单位：米）：

甲绢：1.74，1.75，1.63，1.69，1.77，1.75，1.57，1.59，1.66，1.72，

乙组：1.63，1.69，1.73，1.78，1.59，1.70，1.63，1.76，1.67，1.63．

（1）在甲组中任选三人．求至少有两人的身高在l.70米以上（含1.

（2）从甲、乙两小组中各任选一人．若将这20人按身高分成三个身高组：组1.50~1.59米，组1.60~1.69米，组1.70~1.79米，求这两人分在不同身高组的概率．

“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”则

基础练习

1．在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品．10件是三等品，从中任取3件，试计算：

（1）3件都是一等品的概率；

（2）2件是一等品、1件是二等品的慨率；

（3）一等品、二等品、三等品各有l件的概率．

2．盒中有规格相同的红、白、黑手套各3只．从中任意摸出2只恰好配成同色的概率为多少？

3．某班36人的血型情况为：A型血12人，B型血10人，AB型血8人．O型血6人，若从班里随机叫出两人，两人血型相同的概率是多少？

4．一枚硬币连掷四次，试求：

（1）恰好出现两次是正面的概率；

（2）最后两次出现正面的概率．

5．从一副去掉王牌的牌（52张）中，任取4张，求下列情况的慨率：

（1）取出4张全是；

（2）取出4张的数字相同：

（3）取出4张全是黑桃；

（4）取出4张的花色相同．

6．把4个相同的球放进3个不同的盒了，每个球进盒子都是等可能的．求：

（1）没有一个空盒子的概率；

（2）恰有一