第五节函数展开成幂级数及其应用.ppt

第五节函数展开成幂级数及其应用第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日PowerPoint统计学*第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日第七章无穷级数第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.1常数项级数的概念与性质7.2正项级数7.3任意项级数7.4幂级数7.5函数展开成幂级数及其应用7.6函数的幂级数展开式的应用7.7函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质7.8傅里叶级数7.9正弦级数与余弦级数7.10以2l为周期的周期函数的傅里叶级数目录*第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日学习的基本要求和预期目标1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2）熟悉几何级数与级数的收敛性。3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根式审敛法。4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。*第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日学习的基本要求和预期目标8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。*第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5.2泰勒级数7.5.4函数幂级数展开式的应用7.5函数展开成幂级数及其应用7.5.3函数展开成幂级数7.5.5欧拉公式7.5.1问题的提出*第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x)．如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数．7.5函数展开成幂级数及其应用7.5.1问题的提出*第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5函数展开成幂级数及其应用定理5.1(泰勒Taylor中值定理)泰勒英国数学家.1685─1731如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n?1)的阶导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x?x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：泰勒多项式这里x是x0与x之间的某个值．泰勒余项*第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5.2泰勒级数7.5函数展开成幂级数及其应用注：只要函数有导数就会有泰勒级数，除了x?x0外，f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?定义5.1如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数f?(x)，f??(x)，···，f(n)(x)，···，则记称这一级数为f(x)在点x0的泰勒级数。特别，当x0=0时，称为麦克劳林级数，其系数称为泰勒（麦克劳林）系数*第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5函数展开成幂级数及其应用由数学归纳法例5.1设函数证明f(x)任意阶可导，并且f(n)(0)=0，进一步有麦克劳林级数和为S(x)=0.一般地，其中p(x),q(x)为多项式进一步有麦克劳林级数为*第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5函数展开成幂级数及其应用定义4.2设函数f(x)在x0的某邻域具有任意阶导数，如果所导出的级数在区间I上仍然收敛与f(x)，则称函数可展开成为泰勒级数。注:区间I不一定是泰勒级数的收敛域,同样也不一定是函数f(x)导函数存在区域，更不是函数f(x)定义域，它是使级数的和函数s(x)就等于f(x)的区域。*第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日7.5函数展开成幂级