2025年事业单位招聘考试教师招聘数学学科专业知识试卷（偏微分方程）.docxVIP

2025年事业单位招聘考试教师招聘数学学科专业知识试卷（偏微分方程）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列关于偏微分方程的说法，正确的是：

（1）偏微分方程只能描述单变量问题；

（2）偏微分方程描述的是多元函数的偏导数关系；

（3）偏微分方程的解通常是隐式的；

（4）偏微分方程的解法通常比较简单。

2.下列方程中，属于二阶线性偏微分方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=2xy$。

3.下列方程中，属于泊松方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

4.下列方程中，属于拉普拉斯方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

5.下列方程中，属于热传导方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

6.下列方程中，属于波动方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

7.下列方程中，属于欧拉方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

8.下列方程中，属于贝塞尔方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

9.下列方程中，属于傅里叶方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

10.下列方程中，属于高斯方程的是：

（1）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$；

（2）$u_{xx}+u_{yy}=e^x$；

（3）$u_{xx}+u_{yy}=0$；

（4）$u_{xx}+u_{yy}=2xy$。

二、填空题（每题2分，共20分）

1.偏微分方程的解通常是________。

2.偏微分方程的解法通常比较________。

3.偏微分方程描述的是________。

4.偏微分方程的解法有________、________、________等。

5.偏微分方程的通解是________。

6.偏微分方程的特解是________。

7.偏微分方程的通解可以表示为________。

8.偏微分方程的特解可以表示为________。

9.偏微分方程的解法中的分离变量法是假设________。

10.偏微分方程的解法中的特征线法是假设________。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.求解以下方程的通解：

$u_{xx}-4u_{xy}+4u_{yy}=e^x$。

2.求解以下方程的通解：

$u_{xx}+u_{yy}=e^x+e^y$。

3.求解以下方程的通解：

$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=xy$。

四、解答题（每题10分，共30分）

1.证明：如果函数$u(x,y)$满足方程$u_{xx}+u_{yy}=0$，那么它一定是某个二元函数$F(x,y)$的偏导数。

2.给定方程$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=2xy$，利用分离变量法求解其通解。

3.设函数$u(x,y)$满足方程$u_{xx}+u_{yy}=0$，且$u(x,0)=f(x)$，$u(0,y)=g(y)$，求解该方程的特解。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：如果函数$u(x,y)$满足方程$u_{xx}+u_{yy}=0$，那么它在任意区域内的二阶混合偏导数相等，即$\frac{\partial^2u}{\partialx