2025年新高考数学一轮复习讲义（教师版）.doc

§1.1集合

课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．

知识梳理

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合

非负整数

集(或自

然数集)

正整

数集

整数集

有理

数集

实数集

符号

N

N*(或N＋)

Z

Q

R

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)．

(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．

(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

表示

运算

集合语言

图形语言

记法

并集

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

交集

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

补集

{x|x∈U，且x?A}

?UA

常用结论

1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)

(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)

(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)

2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则(?RA)∩B等于()

A．{x|2x≤3}

B．{x|7x10}

C．{x|2x3或7≤x10}

D．{x|2x≤3或7x10}

答案C

解析因为?RA＝{x|x3或x≥7}，B＝{x|2x10}，所以(?RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．

3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.

答案2

解析因为A∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.

4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0xa}，B＝{x|0x2}，若B?A，则实数a的取值范围为________．

答案[2，＋∞)

解析因为B?A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案D

解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，

集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，

因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，

所以直线与圆相交，

所以A∩B的元素个数为2，

则A∩B的子集个数为4.

(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为()

A．2B．3C．0D．－2

答案B

解析因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，

则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．

当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；

当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；

当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意．

综上所述，m＝3.

思维升华解决集合含义问题的关键点

(1)一是确定构成集合的元素．

(2)确定元素的限制条件．

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()

A．3B．4C．5D．6

答案B

解析因为集合