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2025年研究生入学考试《数学一》新版真题卷（附详细解析）

一、单项选择题：1-10题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

设函数f(x)=sinxx+1

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

答案：C

解析：当x→0时，sinxx→1，而1x2

已知函数y=y(x)

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：对方程两边求导得ex+y(1+y′)?y?xy′=0，将x=0代入原方程得e0+y?0=1，即y=0。再将x=0，y=0代入求导后的方程得

设L为从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则曲线积分L?

A.2

B.2

C.2

D.4

答案：C

解析：直线L的方程为y=x，0≤x≤1，则

设级数n=1

A.n

B.n

C.n

D.n

答案：C

解析：因为n=1∞an收敛，所以其前n项和Sn收敛，设limn→∞Sn=S。则n=1∞(a

设矩阵A=12

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：B

解析：对矩阵A进行初等行变换，A=12

设向量组α1=(1,2,3)，α2

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：B

解析：将向量组组成矩阵12

设随机变量X服从正态分布N(1,4)，则P

A.0.1359

B.0.3413

C.0.5

D.0.6826

答案：C

解析：正态分布N(μ,σ2

设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则E(

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：指数分布的期望为1λ，参数为1时期望为1，所以E(X

设A和B为两个随机事件，且P(A)=0.6，P(B

A.0.6

B.0.7

C.0.8

D.0.9

答案：C

解析：根据概率的加法公式，P(

设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，X1,X

A.X

B.X

C.(

D.(

答案：B

解析：根据t分布的定义，X―

二、填空题：11-16题，每小题5分，共30分。

limx

答案：?

解析：利用泰勒展开式，ln(1+x)=

设函数f(x)=

答案：xcosx+sinx

解析：先求一阶导数，f′(x

微分方程y″

答案：y=(C1

解析：特征方程为r2?2r+1=0，解得

设矩阵A=1002

答案：1

解析：二阶矩阵的逆矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号，再除以行列式的值，行列式|A|=1×2?0×0=2，所以逆矩阵为

设随机变量X的概率密度函数为其他f(x)=

答案：1

解析：P{

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为其他F(x,

答案：0

解析：先求边缘分布函数，FX(x)=F(x,+∞)=1?e?x

三、解答证明题：17-22题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）求函数f(x)=

解：首先，对函数f(x)求导，f′(x)=3x2

接下来，计算函数在区间端点和驻点处的值：

f(?1)=(?1

f(0)=

f(2)=

f(3)=

比较这些值可得，函数在区间[?1,3]上的最大值为1，最小值为-3。

18.（12分）计算二重积分D?x2ydxdy，其中D是由直线y=0

解：首先，确定积分区域D的范围。由题意可知，D在x轴上的范围是0≤x≤1，在y轴上的范围是

则二重积分可以表示为累次积分：

D

先计算内层积分：

0

再计算外层积分：

0

所以，二重积分的值为110

19.（12分）求幂级数n=1

解：首先，求收敛半径。对于幂级数n=1∞anx

R

所以，收敛半径R=1

接下来，求收敛域。当x=1时，幂级数变为n=1∞1n

所以，收敛域为[?1,1)。

最后，求和函数。设S(x)=

S′(

再对S′

S(x

所以，幂级数的和函数为S(x)=?ln(1?

20.（12分）设向量组α1=(1,1,1,1)，α2=(1,2,3,4)，

解：将向量组组成矩阵A=

A

行阶梯形矩阵中非零行的行数为2，所以向量组的秩为2。

极大线性无关组可以取α1，α

接下来，将α3，α4用α1

设α3

k

由前两个方程可得：k1=1?k2，代入第二个方程得1?k

验证后两个方程：?1+3×2=5，?1+4×2=7，均成立，所以α3

设α4

m

由前两个方程可得：m1=1?m2，代入第二个方程得1?m

验证后两个方程：?2+3×3=7，?2+4×3=10，均成立，所以α4

21.（12分）设随机变量X的概率密度函数为其他f(x)=ax+b,0x

解：首先，根据概率密度函数的性质，?∞+∞

0

计算积分：

01

其次，已知E(X)=

0

计算积分：

01

联立方程①和②，得到方程组：

1

将方程①乘以2，得到a+

将方程②乘以6，得到2a+

用方程④减去方程③乘以2，可得：

2a

2a

?

解得b

将b=2代入方程③，可得