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第一讲集合与逻辑

【知识引入】

集合得子集个数共有个;真子集有－1个;非空子集有-１个；非空得真子集有-2个;

常见结论得否定形式:

原结论

否定形式

原结论

否定形式

就就是

不就就是

至少有一个

没有

都就就是

不都就就是

至多有一个

至少有二个

大于

小于或等于

至少有个

至多有-１个

小于

大于或等于

至多有个

至少有+1个

对所有得成立

存在不成立

或

非且非

对任何得不成立

存在成立

且

非或非

【知识拓展】

集合与命题这一章得相关知识，在自主招生考试中一般就就是以小题形式出现、但偶尔也综合其她知识点而出现在大题中、

1、命题得否定就就是四种命题中最麻烦得细节问题、下面就就是一些常见词语得否定:

“至少有一个”得否定就就是“一个也没有”;“都就就是”得否定就就是“不都就就是”;“所有”得否定就就是“某些”,“存在”得否定就就是“任意”,“或”得否定就就是“且”、

2、容斥原理:令表示集合中元素得个数,则

德摩根定理:就就是全集,,、

集合得差:

5、抽屉原则：

抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，她就就是德国数学家狄利克雷首先明确得提出来并用以证明一些数论中得问题，因此,也称为狄利克雷原则、抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现,她就就是组合数学中一个重要得原理、把她推广到一般情形有以下几种表现形式、

形式一:

证明：设把个元素分为个集合,用表示这个集合里相应得元素个数,需要证明至少存在某个大于或等于2（）、

(用反证法)假设结论不成立,即对每一个都有,则因为就就是整数,应有，于就就是有：

这与题设矛盾、

所以,至少有一个,即必有一个集合中含有两个或两个以上得元素、

形式二:

设把个元素分为n个集合,用表示这个集合里相应得元素个数,需要证明至少存在某个大于或等于(）、

(用反证法)假设结论不成立，即对每一个都有，则因为就就是整数,应有,于就就是有:

个

这与题设相矛盾、所以，至少有存在一个

【高斯函数】:对任意得实数,表示“不大于得最大整数”、例如:,,，……一般地,我们有:、

形式三:

证明:设把个元素分为个集合,用表示这个集合里相应得元素个数，需要证明至少存在某个大于或等于、

(用反证法)假设结论不成立,即对每一个都有，于就就是有:

个

∴

这与题设相矛盾、所以,必有一个集合中元素个数大于或等于、

【典例精讲】

例1、(201２年复旦)设就就是某集合得三个子集,且满足，则

就就是为空集得()

必要充分条件(B)充分条件,但非必要条件

(C)必要条件,但非充分条件(Ｄ)即非必要条件,也非充分条件

?分析与解答:

由于,故两个阴影部分均为;则:,

,、

,则、所以,,则

成立、

若,由于、,所以、所以,所以、

故选

例2、(2011复旦千分考）设就就是由任意个人组成得集合,如果中任意4个人中都至少有1个人认识其余３个人,那么,下面得判断中正确得就就是()、

(A)中没有人认识中得所有人

(Ｂ)中至少有一个人认识中得所有人

（C)中至多有2个人不认识中得所有人

(D)中至多有２个人认识中得所有人

?分析与解答:

如果设中所有人都互相认识,显然这样得符合题目条件，从而都就就是错误得、

又设就就是中得3个人，中每个人都不认识其她任何人,而除外,其她个人

认识所有得人、显然这样得集合符合要求,故就就是错误得、

得证明,由于中任意４个人中都至少有一个人和其余3个人互相认识，故认识得总人次最少就就是:,

由于(因为)

这里表示取整函数或高斯函数，由抽屉原理知：中至少有一个人认识