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傅里叶级数和傅里叶变换

内容傅里叶级数周期函数的傅里叶展开奇函数及偶函数的傅里叶展开复数形式的傅里叶级数傅里叶积分实数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分傅里叶变换式的物理意义—频谱傅里叶变换傅里叶变换的定义多维傅氏变换广义傅里叶变换(不要求)积分变换(不要求)

一个有趣的数学现象

矩形波可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加

物理意义：把一个比较复杂的周期运动01看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。02

1807年法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数，但遭到拉格朗日(Lagrange)的强烈反对,论文从未公开露面过。1822年，他在研究热传导理论时发表了《热的分析理论》，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。一点历史

傅里叶、傅利叶、傅立叶

Fourier

01在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为02较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如03在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较04简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分05析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换06的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成07为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸08多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，09例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理10等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．傅里叶变换

A周期函数的傅里叶展开B定义7.1.1傅里叶级数傅里叶级数展开式傅里叶系数C若函数D以E为周期，即为7.1傅里叶级数

的光滑或分段光滑函数，且定义域为01，则可取三角02函数族03(7.1.2)04作为基本函数族，将05展开为傅里叶级数（即下式右端06级数）07(7.1.3)08

的傅里叶级数展开式01（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简02称傅氏系数）．03函数族(7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即04式（）称为周期函数

积化和差公式积分利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为

（）关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理若函数满足条件：

则在间断点有：在收敛点有：在每个周期内只有有限个极值点，则级数（）收敛，处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；

7.1.2奇函数及偶函数的傅里叶展开定义7.1.2傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式(7.1.4)可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.5)这叫作傅里叶正弦级数．容易检验（）中的正弦级数在处为零．

若周期函数是偶函数，则由傅里叶系数计算公式可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.6)这叫作傅里叶余弦级数．由于对称性，其展开系数为

同样由于对称性，其展开系数为(7.1.7)由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数．

定义7.1.3复数形式的傅里叶级数01取一系列复指数函数02(7.1.8)03作为基本函数族，可以将周期函数04展开为复数形式的05傅里叶级数06(7.1.9)07复数形式的傅里叶级数

利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数(7.1.10)可以分解为频率为，复振幅为的复简谐波的叠加．称为谱点，而言，谱是离散的．式中“*”代表复数的共轭上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l的函数所有谱点的集合称为谱．对于周期函数

尽管是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，且满足：或(7.1.11)7.2实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非周期函数的级数展开．7.2.1实数形式的傅里叶积分

定义7.2.1实数形式的傅里叶变换式傅里叶积分傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期时的极限情形．这样，的傅里叶级数展开式(7.2.1)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开．下面我们研究这一极限过程：

故（）为（）(7.2.3)傅里叶系数为设不连续的参量

代入到(7.2.2)，然后取的极限．对于系数，若有限，则而余弦部分为当，不连续参变量变为连续参量，以符号代替．对的求和变为对连续参量

01同理