4 4　解三角形-2026版53高考数学总复习A版精炼.docxVIP

4.4解三角形

五年高考

考点1正弦定理、余弦定理

(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-

bcosA=c,且C=π5,则B=()

A.π

答案C

2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()

A.1B.2C.

答案D

3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()

A.1

答案A

4.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.?

答案22

(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA+3cosA=2.

(1)求A;

(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.

解析(1)由已知得12sinA+32cosA=sinA+π3=1,因为0Aπ,

由2bsinC=2csinBcosB及bsinB=csinC,得2sinBsinC=2sinCsinBcosB,又sinB≠0,且sinC≠0,所以cosB=22,则sin

sinAcosB+cosAsinB=12×22+32×22=2+64,所以c=asin

(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.

(1)求B;

(2)若△ABC的面积为3+3,求c.

解析(1)由余弦定理的推论得cosC=a2+b2?c22ab=

由sinC=2cos

∴cosB=12,由0Bπ得B=π

(2)由(1)得B=π3,C=π4.∵

令b3=c2=t,t0,则b=3t,c

∵A=π-B-C=5π12

∴sinA=sinπ4

∵S△ABC=12

∴t=2,因此c=22.

7.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sin∠ABC;

(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.

解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,则BC=7.(3分)

由正弦定理,得ACsin∠

则sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=

(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD=3

在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×35=235

在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,

∴△ADC的面积S=12×235

8.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asinC.

(1)证明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

解析(1)证明:由题设得BD=asin

在△ABC中,由正弦定理知csin

即sinC

代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又

∴BD=b.(4分)

(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b

在△ABD中,cosA=AD

在△ABC中,cosA=AC

故c2?59b243bc=b2

又b2=ac,(7分)

所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,

所以c=3a或c=23a.(8分)

当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+bc,

故a,b,c构不成三角形;(10分)

当c=23a时,b2=ac=23a2,所以b=6

此时a,b,c可以构成三角形,(11分)

故c=23a,b=63a,所以在△ABC中,cos∠ABC=a2+c

考点2解三角形及其综合应用

1.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.?

答案213;2

(2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,

∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=

答案3-1

3.(2020全国Ⅰ,16,5分,中)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.?

答案-1

4.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin