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数值分析预习报告

引言数值分析基本概念插值方法函数逼近与拟合数值积分与数值微分线性方程组的直接解法非线性方程组的迭代解法contents目录

引言01

数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法的学科，在科学计算、工程技术和经济管理等领域有着广泛的应用。通过对数值分析课程的预习，了解课程的主要内容和基本方法，为后续的学习和实践打下基础。目的和背景预习报告的目的数值分析的重要性

数值分析的基本概念数值计算的基本方法算法的设计与分析数值实验与案例分析报告范围包括误差、稳定性、收敛性等基本概念的介绍。涉及算法设计的基本思想、算法复杂度的分析和优化等方面的内容。涵盖线性方程组、插值、拟合、数值微分与积分等常用数值计算方法的原理和实现。通过具体的数值实验和案例分析，加深对数值分析方法和算法的理解和应用。

数值分析基本概念02

数值分析的定义数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支。它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。

舍入误差是由于计算机进行数值计算时，对数据的舍入处理而产生的误差，主要是由于计算机内部表示数的精度限制造成的。截断误差是由于采用近似算法而产生的误差，主要是由于算法本身的局限性或计算资源的限制造成的。观测误差是在观测或测量过程中所产生的误差，主要是由于测量设备的精度限制或人为因素造成的。数值计算的误差来源主要有模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。模型误差是建立数学模型过程中所产生的误差，主要是由于模型本身的不完善或模型与实际问题的差异造成的。数值计算的误差

算法稳定性是指算法在输入数据发生微小变化时，输出结果的稳定性。对于稳定的算法，当输入数据发生微小变化时，输出结果的变化也是微小的；而对于不稳定的算法，即使输入数据发生微小的变化，也可能导致输出结果发生较大的变化。算法稳定性是评价算法性能的重要指标之一，对于需要高精度计算的应用领域尤为重要。算法的稳定性

插值方法03

插值问题是指通过已知的一系列数据点，找到一个函数，使得该函数在已知点上取值与数据点相符，并用于估计未知点的函数值。插值问题的定义插值方法广泛应用于数值计算、数据拟合、图像处理、信号处理等领域。插值的应用领域插值问题的提

拉格朗日插值多项式是一种通过已知数据点构造的多项式函数，具有在已知点上取值的特性。拉格朗日插值多项式的定义拉格朗日插值基函数是通过已知数据点构造的，每个基函数在对应的数据点上取值为1，在其他数据点上取值为0。拉格朗日插值基函数的构造拉格朗日插值多项式具有唯一性、线性性、对称性等性质。拉格朗日插值多项式的性质拉格朗日插值

03牛顿插值多项式的构造方法牛顿插值多项式通过计算各阶差商，并利用差商的性质构造出多项式函数。01牛顿插值多项式的定义牛顿插值多项式是一种通过已知数据点构造的多项式函数，采用差商的概念进行构造。02差商的定义及性质差商是指函数值之间的差与自变量之间的差的比值，具有线性性、可递推性等性质。牛顿插值

分段插值分段插值的定义分段插值是指将数据点分成若干段，每段上采用一种插值方法进行拟合，得到整体的插值函数。分段线性插值分段线性插值是分段插值的一种简单形式，每段上采用线性函数进行拟合。分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值是分段插值的一种高级形式，每段上采用三次多项式进行拟合，同时考虑端点处的导数值。

函数逼近与拟合04

通过选择一组基函数，将目标函数表示为这组基函数的线性组合，使得在某种范数意义下，逼近误差达到最小。函数逼近的定义常见的范数包括L1范数、L2范数、无穷范数等，用于度量逼近误差的大小。逼近的范数逼近的精度取决于基函数的选择、逼近方法以及目标函数的性质等因素。逼近的精度函数逼近的基本概念

通过最小化逼近函数与目标函数在数据点上的差的平方和，得到逼近函数的系数。最小二乘法的原理可以通过求解线性方程组或采用迭代方法求解最小二乘问题。最小二乘法的求解广泛应用于数据拟合、回归分析、图像处理等领域。最小二乘法的应用最小二乘法

正交多项式逼近正交多项式的定义正交多项式逼近的优点正交多项式逼近的原理正交多项式逼近的求解一组在区间[a,b]上正交的多项式，满足正交性条件，即任意两个不同的多项式在区间[a,b]上的乘积的积分为零。利用正交多项式的性质，将目标函数表示为正交多项式的线性组合，通过求解组合系数得到逼近函数。可以采用Gram-Schmidt正交化过程构造正交多项式，然后利用最小二乘法求解组合系数。具有较高的逼近精度和数值稳定性，适用于处理复杂函数和大规模数据。

数值积分与数值微分05

数值积分的定义用数值方法求解定积分的近似值。数值积分的意义在实际问题中，很多函数的原函数无法用初等函数表示，或者原函数表达式过于复杂，难以直接计算定