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第三章习题1

原子质量为m，间距为a，恢复力常数为?的一维简单晶格，频率为?格波un=Acos(?t-qna).求该波的总能量，每个原子的时间平均总能量．

而该原子与第n+1个原子之间的势能为格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n个原子的动能为若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为[解答]

23145式中Ｎ为原子总数．可得代入上式得：设Ｔ为原子振动的周期，利用将

（２）每个原子的时间平均总能量则为5logo再利用色散关系便得到每个原子的时间平均能量

一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分别为?1和?2，晶格常数为a，求原子的运动方程及色散关系.

此题实际是一双原子分子链．设相邻分子间两原子的力常数为?2，间距为b；分子内两原子力常数为?1；晶格常数为a.第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为un-1,un,un+1,un+2,第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与第n+2个原子属于同一种原子.第n和第n+1原子受的力分别为1[解答]2

其运动方程分别为8设格波的解分别为

代入运动方程，得9STEP01STEP02整理得由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即

光学格波的色散关系为由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为解上式可得：

5．设有一长度为Ｌ的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+和m-，近邻两离子的互作用势为，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求(1)参数b与e，n及a的关系；(2)恢复力系数?；(3)q=0时光学波的频率?0；(4)长声学波的速度vA；(5)假设光学支格波为一常数，且?=?0，对光学支采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶格热容。

若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能取极小值，即要求[解答]由此得到恢复力系数

光学波频率的一般表达式[参见固体物理教(3．21)式]对于本题，a=2a，?1=?2=?，m=m+，M=m-所以q=0的光学波频率

1由《固体物理教程》(3.25)式可知，长声学波频率3长声学波的速度2对于本题

15光学波对热容的贡献其中?E是爱因斯坦温度，其定义为按照德拜模型，声学波的模式密度(5)按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能?q布里渊区允许的波矢数目等于原胞数目L/2a每个波矢点占据区域：

波矢密度利用?=vAq声学波在dq的模式数目d?=vAdq?q声学波的模式密度

声学波的热振动能17其中?D和?D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率可由下式求得

声学波对热容的贡献18先求出高温时的Ｅa，再求CVA更容易在高温情况下，ex=1+x，上式化成

在甚低温条件下，19其中01是一常数．晶格的热容02

9．求一维简单晶格的模式密度D(?)．

一维简单晶格的色散关系曲线如图所示．由色散曲线对称性可以看出，d?区间对应两个同样大小的波矢区间dq，2?/a区间对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2?个振动模式．d?范围则包含[解答]个振动模式．

单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为由色散关系得将上式代入前式，得到模式密度020103

试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度D(?)（3）晶格热容（列出积分表达式）。02设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成01

[求解]将上式代入《固体物理教程》一维简单晶格的（3.7）式得到色散关系其中根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数

根据《固体物理教程》（3.7）式，一维简单晶格简正振动格波的色散关系式为此式表明?为q偶函数。设D(?)、D(q)分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔内振动方式数，考虑到振动方式总数为原子总数N，可得

由D(q)为常数得261因此2再由3得4又5式中

由此得

1频率为?的格波的热振动能为2这个晶格的热振动能3则晶格的热容

对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。

按照德拜模型，格波色散关系为?=vq。由色散曲线对称性可以看出，d?区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2?/a区间对应L/a个振动模式，单位波矢空间对应有L/2?个振动模式，d?范围则包含[求解]个振动模式。?q?0

再利用式中N为原子总数，a为晶格常数得02单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为01

作变量变换3201《固体物理教程》（3.119）式得其热容量02得03其中高温时，x是小量，上式中被积函数则积分由此得到低温时