2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何证明）——竞赛题库深度解析.docx

2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何证明）——竞赛题库深度解析

一、数论

要求：解答以下数论问题，包括整数的性质、最大公约数、最小公倍数、同余定理以及质数相关内容。

1.已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c中必有一个是3的倍数。

2.若正整数n满足n^2+3n+1是质数，求n的最小值。

3.设p为质数，证明存在整数x、y使得p=x^2+y^2-2xy。

4.证明：任意一个大于1的偶数都可以表示为两个奇质数之和。

5.已知正整数a、b、c、d满足a^2+b^2=c^2+d^2，证明a^4+b^4=