专题1.1 反比例函数（高效培优讲义）-2025-2026学年九年级数学上册（湘教版）（解析版）.docx

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专题1.1反比例函数

教学目标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

教学重难点

1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

2．难点：理解反比例函数的概念

知识点01反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.

一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.

（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

【即学即练】

1．把化为的形式：，其中；

【答案】

【知识点】根据定义判断是否是反比例函数

【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．

根据反比例函数的形式变形即可．

【详解】解：由得，所以，

故答案为：，．

2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有（填序号）．

【答案】②⑤/⑤②

【知识点】根据定义判断是否是反比例函数

【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可．

【详解】解：是的反比例函数的有，．

故答案为：②⑤

3．若是反比例函数，则a的值为．

【答案】

【知识点】根据反比例函数的定义求参数

【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．

【详解】解：由题意得：且，；

解得，又；

．

故答案为：．

知识点02确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为：()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.

【即学即练】

1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为．

【答案】12

【知识点】求反比例函数解析式

【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点代入解析式，即可进行求解．

【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴；

故答案为：．

2．已知y与x成反比例，且当时，．

(1)求函数的关系式；

(2)当时，y的值是多少？

【答案】(1)

(2)8

【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值

【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式；

（1）设解析式，然后把一组对应值代入求出k即可；

（2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值．

【详解】（1）解：设解析式为：，

把，代入得，

所以函数解析式为；

（2）当时，．

3．已知与成反比例，当时，．

(1)求y与x的函数解析式；

(2)当时，求x的值．

【答案】(1)

(2)

【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量

【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式．

（1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；

（2）把代入求出x的值即可

【详解】（1）解：∵与成反比例关系，

∴，

∵当时，，即，

解得，

∴y与x的关系式为；

（2）解：∵由（1）知y与x的关系式为，

∴当时，，

解得：．

题型01用反比例函数描述数量关系

【典例1】下面每组中的两种量成反比例关系的是（???）

A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积

C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高

【答案】D

【知识点】反比例的意义及辨识、用反比例函数描述数量关系

【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断．

两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断．

【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意；

B、因为圆的面积半径2，所以圆的