多选题加练(二)　基本初等函数及函数的应用.DOCX

多选题加练(二)基本初等函数及函数的应用

1.(2024·临沂模拟)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为()

A.g(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)

B.g(x)＝3x－3－x

C.g(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)

D.g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)

答案BD

解析因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)，

即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.

对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；

对于B，定义域为R，

g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；

对于C，定义域为R，g(－x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2x,1＋2x)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,1＋2x)≠－g(x)，不符合题意；

对于D，定义域为R，g(－x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)＋ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，符合题意.

2.(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()

A.f(x)的定义域是(－6，4)

B.f(x)有最大值

C.不等式f(x)4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)

D.f(x)在[0，4]上单调递增

答案AB

解析由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋60，,4－x0，))解得－6x4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A正确；

f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，

因为y＝－x2－2x＋24＝－(x＋1)2＋25在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，

所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；

因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，

所以不等式f(x)4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；

因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误.

3.(2024·扬州模拟)已知k∈Z，则函数f(x)＝xk·(2x＋2－x)的图象可能是()

答案ABC

解析令g(x)＝2x＋2－x，

则g(－x)＝2－x＋2x＝g(x)，

故g(x)＝2x＋2－x为偶函数.

当k＝0时，函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，且其图象过点(0，2)，显然四个选项都不满足.

当k为偶数时，易知函数h(x)＝xk为偶函数，

所以函数f(x)＝xk·(2x＋2－x)为偶函数，其图象关于y轴对称，则C，D符合；

若k为正偶数，易知C符合；

若k为负偶数，易知函数f(x)＝xk·(2x＋2－x)＝eq\f(1,x－k)·(2x＋2－x)的定义域为{x|x≠0}，排除D.

当k为奇数时，易知函数h(x)＝xk为奇函数，

所以函数f(x)＝xk·(2x＋2－x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则A，B符合；

若k为正奇数，易知B符合；

若k为负奇数，易知函数f(x)＝xk(2x＋2－x)的定义域为{x|x≠0}，

易知A符合.综上，选ABC.

4.(2024·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－eq\f(1,2)x，则下列说法中正确的是()

A.函数f(x)的图象关于原点对称

B.函数f(x)的图象关于y轴对称

C.函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数

D.函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))

答案BD

解析因为f(x)的定义域为R，

f(x)＝log4(1＋4x)－log44eq\f(x,2)＝log4eq\f(1＋4x,2x)＝

log4(2－x＋2x)，

所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；

令t＝2x，则y＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，

令s＝t＋eq\f(1,t)，则y＝log4s，

当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，

所以s＝t＋eq\f(1,t)为增函数，

又y＝log4s为增函数，所以y＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))为增函数，

又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数.

又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝eq\f(1,2)，

所以f(x)的值域为eq\b\l