2024-2025学年下学期期末备考初二数学专题01 二次根式（精讲）.docxVIP

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专题01二次根式

1．二次根式的概念

一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．二次根式有无意义的条件

类型

条件

字母表示

二次根式有意义

被开方数（式）为非负数

有意义a≥0

二次根式无意义

被开方数（式）为负数

无意义a0

3．二次根式的性质

（1）；

（2）；

（3）．

4．代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．

5．二次根式的乘法

（1）一般地，二次根式的乘法法则：

．

（2）二次根式乘法法则的逆用：

．

6．二次根式的除法法则

（1）一般地，二次根式的除法法则：

．

（2）二次根式除法法则的逆用：

7．最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

8．二次根式的加减

二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：

（1）将各个二次根式化成最简二次根式；

（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；

（3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．

9．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．

（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．

二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．

考点01二次根式的概念、有无意义的条件

（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．

（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．

（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．

（4）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．

（5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．

（6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．

【典例1】（2025?崇明区三模）下列式子中，不属于二次根式的是

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可．

【解答】解：、是二次根式，不符合题意；

、因为，所以是二次根式，不符合题意；

、因为，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，符合题意；

、由于被开方数是正数，是二次根式，不符合题意．

故选：．

【典例2】（2025?无锡校级二模）要使二次根式有意义，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

【典例3】（2025春?鲁山县期中）若二次根式有意义，则的取值范围是

A． B．且 C． D．

【答案】

【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可．

【解答】解：由题意得，，

解得，

故选：．

考点02二次根式的性质与化简

（1）；

（2）；

（3）．

【拓展】（1）若，则a=0，b=0；

（2）若，则a=0，b=0；

（3）若，则a=0，b=0；

（4）若，则a=0，b=0，c=0．

【典例4】（2025春?东莞市期中）如果，那么的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质，可得答案．

【解答】解：，

，

解得，

故选：．

【典例5】（2025春?诸暨市期中）若，则

A． B． C． D．

【分析】根据二次公式的性质：和绝对值的性质进行计算即可．

【解答】解：，

，

故选：．

【典例6】（2025春?怀宁县期中）已知，那么的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．

【解答】解：，

，解得．

故选：．

考点03二次根式中的规律问题

求解与二次根式有关的规律探究题时，常会用到从特殊到一般的推理方式得到数学结论．

【典例7】（2024秋?黔江区期末）观察下列等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

按上述规律，计算．

【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

故答案为：．

【典例8】（2023秋?昌黎县期末）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若