【期末热点.重难点】复数的三角表示（含解析）人教A版（2025）数学高一年级下册册.docxVIP

期末热点.重难点复数的三角表示

一．选择题（共5小题）

1．（2024?惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足z?eiπ3=2，则|z

A．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]

2．（2024?茂名模拟）已知z1=cosπ3+isinπ3，z

A．0 B．i C．﹣i D．3

3．（2024秋?湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣1﹣4i|的最大值是（）

A．?17 B．17 C．17?1

4．（2024秋?五华区月考）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”．已知复数z满足|z|=12，则|z﹣ei

A．12 B．1 C．54

5．（2024秋?昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算(1

A．﹣1 B．?12+32i

二．多选题（共4小题）

（多选）6．（2024秋?上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（）

A．2(cosπ10+isinπ

C．2(cosπ2+isin

（多选）7．（2024秋?江西月考）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）

A．复数eiπ

B．复数ei2对应的点位于第二象限

C．复数eiπ6

D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆

（多选）8．（2024?安徽开学）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A．eπ2

B．复数eπ4

C．sinx=e

D．若z1=eπ3i，z2=eθi在复平面内分别对应点Z

（多选）9．（2024?大理市校级开学）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828?），该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄．依据欧拉公式，下列结论正确的是（）

A．eπ3

B．复数ekπ2

C．exi?e﹣xi＝1

D．设复数z=exi

三．填空题（共3小题）

10．（2024春?闵行区校级期末）复数z=11+i（i是虚数单位）的虚部是

11．（2024春?临夏州期末）计算：(cosπ

12．（2024春?福建期末）若复数z满足z1+i=i2020+

四．解答题（共3小题）

13．（2024秋?邳州市月考）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．

（1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并写出zn的三角形式（无需证明）；

（2）求方程x5＝1虚根的实部；

（3）证明：n∈N*时，sinπ

参考数据：sin18°=5

14．（2024秋?丰城市校级期中）已知：

①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi

②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．

③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．

（1）设ω=?12+3

（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；