2026版步步高大一轮高考数学复习第七章　立体几何与空间向量第1节　基本立体图形及几何体的表面积与体积含答案.docx

2026版步步高大一轮高考数学复习第七章立体几何与空间向量

考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.

【知识梳理】

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点，但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

2.直观图的斜二测画法

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

4.简单几何体的表面积和体积公式

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

[常用结论与微点提醒]

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).

2.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)菱形的直观图仍是菱形.()

(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，(1)错误.

(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥，(2)错误.

(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.

(4)球的体积之比等于半径比的立方，故(4)错误.

2.(必修二P106T8改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是()

A.棱台 B.四棱柱

C.五棱柱 D.六棱柱

答案C

解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′，且AD，BC，FG，EH，A′D′相互平行且相等，

所以剩下的几何体是五棱柱.

3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.4eq\r(2)

答案B

解析设圆锥的母线长为l，

因为该圆锥的底面半径为eq\r(2)，侧面展开图为一个半圆，

所以2π×eq\r(2)＝πl，解得l＝2eq\r(2).

4.(必修二P120T5改编)一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为________.

答案14π

解析设球的半径为R，

则2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，则R＝eq\f(\r(14),2)，

故球的表面积为S＝4πR2＝14π.

考点一基本立体图形

角度1结构特征

例1(多选)下列说法中正确的是()

A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

答案AD

解析由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；

由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；

底面是正多边形的棱锥，但不能保