新人教版高中数学选择性必修第一册3.4.3.1.pdfVIP

第1课时直线与直线、直线与平面的夹角

[教材要点]

要点一空间两直线的夹角

若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈________，且θ

π

与两个方向向量所成的角〈a，b〉________或________，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，

2

θ＝________，

π

当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cosθ＝________．

2

要点二直线与平面的夹角

设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成

πππ

的角θ∈0，，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sinθ＝|cos〈l，

222

n〉|.

[基础自测]

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()

(2)直线与平面的夹角都是锐角．()

(3)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．()

(4)当直线与平面的夹角为0°时，说明直线与平面平行．()

2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的

角等于()

A．120°B．60°

C．30°D．以上均错

3．设直线l的方向向量为s＝(1，1，1)，直线l的方向向量为s＝(－2，2，－2)，

1122

则l，l夹角的余弦值为()

12

11

A．－B．

33

33

C．D．

32

4．已知直线l的方向向量为s＝(1，0，0)，平面π的法向量为n＝(2，1，1)，则直线

与平面夹角的正弦值为__________．

题型一直线间的夹角

例1如图所示，在三棱柱OAB­OAB中，平面OBBO⊥平面OAB，∠OOB＝60°，

111111

∠AOB＝90°，且OB＝OO＝2，OA＝3，求异面直线AB与OA夹角的余弦值．

111

方法归纳

求异面直线的夹角，用向量法比较简单，若用基向量求解，则必须选好空间的一组基向

量，若用坐标系求解，一定要将每个点的坐标写正确．

跟踪训练1如图，在棱长为a的正方体ABCD­ABCD中，求异面直线BA和AC的

11111

夹角．

题型二直线与平面间的夹角

例2正三棱柱ABC­ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC与侧面ABBA的