2025高考考前 数学大题冲刺篇 9个高考热点 热点8 导数与函数的零点、恒成立与有解问题.docx

热点8导数与函数的零点、恒成立与有解问题

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2022

2023

2024

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新高考Ⅰ卷

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导数中的恒成立问题

18

新高考Ⅱ卷

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【典例1】(2024·北京高考)已知f(x)=x+kln(1+x)(k≠0),在(t,f(t))(t0)处切线为l.

(1)当k=-1时,求f(x)的单调区间;

(2)证明:切线l不经过(0,0);

(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0),其中t0,切线l与y轴交于点B时.当2S△ACO=15S△ABO时,符合条件的A有几个?

(参考数据:1.09ln31.10,1.60ln51.61,1.94ln71.95)

【审题思维】

(1)直接代入k=-1,再利用导数研究其单调性;

(2)写出切线方程y-f(t)=(1+k1+t)(x-t)(t0),将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+

(3)分别写出面积表达式,代入2S△ACO=15S△ABO得到13ln(1+t)-2t-15t1+t=0,再设新函数h(t)=13ln(1+t)-2t-15t1+t

【解析】(1)f(x)=x-ln(1+x),f(x)=1-11+x=x1+

当x∈(-1,0)时,f(x)0,f(x)在(-1,0)上单调递减,

当x∈(0,+∞)时,f(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).

(2)因为f(x)=x+kln(1+x)(k≠0,x-1),则f(x)=1+k1+x,所以直线l的斜率为1+

故切线l的方程为y-f(t)=(1+k1+t)(x-t)(t0),代入(0,0),-f(t)=-t(1+k1+t),f(t)=

t+kln(1+t)=t+tk1+

则ln(1+t)=t1+t,ln(1+t)-

令F(t)=ln(1+t)-t1+

若l过(0,0),则F(t)在t∈(0,+∞)上存在零点.

F(t)=11+t-1+t

故F(t)在(0,+∞)上单调递增,F(t)F(0)=0,

不满足假设,故l不过(0,0).

(3)k=1,f(x)=x+ln(1+x),f(x)=1+11+x=

S△ACO=12tf(t),设l与y轴交点B为(0,q),t0时,若q0,则此时l与f(x)必有交点,与切线定义矛盾

由(2)知q≠0,

所以q0,则切线l的方程为y-t-ln(t+1)=(1+11+t)(x-

令x=0,则y=q=y=ln(1+t)-tt

因为2S△ACO=15S△ABO,则2tf(t)=15t[ln(1+t)-tt

所以13ln(1+t)-2t-15×t1+t=0,记h(t)=13ln(1+t)-2t-15t

所以满足条件的A有几个即h(t)有几个零点.

h(t)=131+t-2-15(t+1)2

t∈(0,12)时,h(t)0,h(t)单调递减

t∈(12,4)时,h(t)0,h(t)单调递增

t∈(4,+∞)时,h(t)0,h(t)单调递减;

因为h(0)=0,h(12)0,h(4)=13ln5-2013×1.6-20=0.80,h(24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-72526×1.61-48-72

所以由零点存在性定理及h(t)的单调性,h(t)在(12,4)上必有一个零点,在(4,24)上必有一个零点

综上所述,h(t)有两个零点,即满足2SACO=15SABO的A有两个.

【题后反思】

本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程、函数的单调性以及函数的零点问题.利用导数研究函数的零点或方程根,通常有三种思路:

(1)利用最值或极值研究;

(2)利用数形结合思想研究;

(3)构造辅助函数研究.

【典例2】(规范解答)(17分)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=lnx2-x+ax+b(x

(1)若b=0,且f(x)≥0,求a的最小值;

(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;

(3)若f(x)-2当且仅当1x2,求b的取值范围.

【审题思维】

(1)由x2-x02-x≠0,解得函数f(x)的定义域,当b=0时,f(x)=lnx2-

(2)计算f(2-x)+f(x),即可得出答案.

(3)根据题意可得f(x)=lnx2-x-2x+b(x-1)3-2对?1x2恒成立,求导分析单调性,最值

【解析】(1)由x2-x02

所以函数f(x)的定义域为(0,2),

当b=0时,f(x)=lnx2-x

所以f(x)=1x+12-x+a≥0,对?0x2恒成立,

又1x+12-x+a=2x

当且仅当x=1时取“=”,

所以只需2+a≥0,即a≥-2,

所以a的最小值为-2