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2025天津市三模数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数$f(x)=x^33x+1$在$x=1$处的切线斜率为$k$，则$k=$()

A.2

B.2

C.3

D.3

答案：B

2.设集合$A=\{x|x0\}$，$B=\{x|x2\}$，则$A\capB=$()

A.$\{x|0x2\}$

B.$\{x|x2\}$

C.$\{x|x\leq0\}$

D.$\{x|x\geq2\}$

答案：A

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$35$，第5项为$15$，则首项$a_1=$()

A.3

B.5

C.7

D.9

答案：A

4.设$f(x)=x^22x+1$，$g(x)=x1$，则$f[g(x)]=$()

A.$x^22x$

B.$x^22x+1$

C.$x^22$

D.$x^21$

答案：D

5.已知函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，则$f(x)=$()

A.$\sqrt{1x^2}$

B.$\sqrt{1+x^2}$

C.$\sqrt{1+x^2}$

D.$\sqrt{1x^2}$

答案：B

6.设$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos\alpha0$，则$\cos\alpha=$()

A.$\frac{4}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{3}{5}$

D.$\frac{3}{5}$

答案：B

7.若直线$l$的斜率为$1$，且过点$(2,3)$，则直线$l$的方程为()

A.$x+y5=0$

B.$xy+1=0$

C.$x+y+1=0$

D.$xy5=0$

答案：A

8.若抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，准线为$l$，点$P$在抛物线上，$PQ\perpl$，则$\trianglePOF$的周长为()

A.4

B.5

C.6

D.8

答案：B

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数$f(x)=x^2+kx+1$在$x=1$处取得最小值，则$k=$_________。

答案：2

10.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，则$a_1=$_________，$a_{10}=$_________。

答案：5,35

11.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，$g(x)=x^2+2x$，则$f[g(x)]=$_________。

答案：$\frac{1}{x^2+3x+1}$

12.若直线$l$的斜率为$\frac{1}{2}$，且过点$(1,3)$，则直线$l$的方程为_________。

答案：$y=\frac{1}{2}x\frac{7}{2}$

13.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{10}$，则$\tan\alpha=$_________。

答案：2

三、解答题（共30分）

14.（本题10分）已知函数$f(x)=x^36x+9$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=3x^26$，令$f(x)=0$，解得$x=\pm\sqrt{2}$。

当$x\in(\infty,\sqrt{2})$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递减；

当$x\in(\sqrt{2},\sqrt{2})$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递增；

当$x\in(\sqrt{2},+\infty)$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递增。

故$f(x)$的单调递减区间为$(\infty,\sqrt{2})$，单调递增区间为$(\sqrt{2},+\infty)$。

15.（本题10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$25$，第5项为$10$，求$\{a_n\}$的通项公式。

解：设$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则

$$

\begin{cases}

5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\\

a_1+4d=10

\end{cases}

$$

解得$a_1