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2025长沙市三模数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^22x+1，下列结论正确的是：

A.f(x)在区间（∞，1）上单调递减

B.f(x)在区间（1，+∞）上单调递增

C.f(x)的最小值为0

D.f(x)的最大值为0

答案：C

2.若实数a，b满足a+b=4，则a^2+b^2的最小值为：

A.4

B.8

C.16

D.2

答案：B

3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(x+1)的图像关于哪条直线对称？

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

答案：C

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=27，则a4的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：B

5.以下哪个数列是等比数列？

A.1,3,6,10,...

B.1,2,4,8,...

C.2,3,5,8,...

D.1,4,9,16,...

答案：B

6.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的最小值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

7.若函数y=f(x)在x=0处可导，且f(0)=2，则下列哪个函数在x=0处的导数等于2？

A.g(x)=f(x)+1

B.g(x)=f(x)2

C.g(x)=f(2x)

D.g(x)=f(x^2)

答案：C

8.若函数y=f(x)在区间（∞，+∞）上连续，且f(0)=0，f(x)0，则下列结论正确的是：

A.f(x)在区间（∞，0）上单调递减

B.f(x)在区间（0，+∞）上单调递增

C.f(x)在区间（∞，+∞）上单调递减

D.f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增

答案：B

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(x)为______函数。

答案：奇函数

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2n=3S2，则n=______。

答案：3

11.若函数y=f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，且f(x)0，则f(x)的图像是______的。

答案：向上凸

12.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k和b满足的方程是______。

答案：k^2+b^2=1

13.若函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(x)=______。

答案：f(2x)

三、解答题（共30分）

14.（10分）已知函数f(x)=x^33x，求f(x)的极值。

解：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。

当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增。

所以，f(x)在x=1处取得极大值2，f(x)在x=1处取得极小值2。

15.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，求首项a1和公差d。

解：由题意得方程组：

a1+a2+a3=12

a1+a2+a3+a4+a5+a6=27

解得a1=4，d=1。

16.（10分）已知函数y=f(x)在x=0处可导，且f(0)=2，求极限lim(x→0)[f(x)f(0)]/x。

解：由导数的定义，lim(x→0)[f(x)f(0)]/x=f(0)=2。

四、应用题（10分）

17.已知某种商品的成本为每件10元，售价为每件30元，若销售量x（单位：件）与售价y（单位：元）之间存在线性关系，且当售价为20元时，销售量为150件。求销售量与售价之间的函数关系式，并求当售价为25元时的销售利润。

解：设销售量与售价之间的函数关系式为y=kx+b。

当y=20时，x=150，代入得20=150k+b。

当y=30时，x=0，代入得30=b。

解得k=2/15，b=30。

所以，销售量与售价之间的函数关系式为y=