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圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，

题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综

合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线

都有可能涉及2在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及

简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范

围问题.

主干知识梳理瞄准高考

1.直线与圆锥曲线的位置关系

1（）直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若/0,则直

线与椭圆相交；若/=0,则直线与椭圆相切；若/0,则直线与椭圆相离.

2（）直线与双曲线的位置关系的判定方法：

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将直线方程与双曲线方程联立，消去M或x）,得到一个一元方程以+bx+c=0或（缈

+力+c=0）.

①若a#0,当/0时，直线与双曲线相交；当4=0时，直线与双曲线相切；当/0时，

直线与双曲线相离.

②若。=0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.

3（）直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y或（x）,得到一个一元方程加+6x+c=0或（缈2

+by+c=O）.

①当时，用/判定，方法同上.

②当。=0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.

2.有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长

问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.

⑴斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点尸|即（，力），巳如（）2），则所得弦长PR=护不

咫一xil或Pi尸2=、/1+伏一）ul,其中求心一与旧一yil时通常使用根与系数的关系，

即作如下变形:

\X2—X\|=7(X1+X2—4X1X2，

仅2—yil=\/(yi+y2)2-4yi2.

(2)当斜率％不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).

3.弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.

4.轨迹方程问题

(1)求轨迹方程的基本步骤：

①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法).

②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系.

③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化.

④化简整理方程——简化.

⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.

(2)求轨迹方程的常用方法：

①直接法：几何关系直接翻译成代数方程；

②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；

③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；

④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；

(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图

形，而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变

形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

考点一曲线方程的求法及其简单应用

:例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：。-1)2+)2=16与

点P为圆8上的动点，线段办