北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题.docxVIP

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北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在的象限是（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（????）

A． B．

C． D．

3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（???）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（???）．

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

5．已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

6．设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（?????）

??

A． B．

C． D．

8．已知，，，设与的夹角为，则（???）

A．240° B．225° C．135° D．90°

9．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

10．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知向量，的夹角为45°，且，，则.

12．若复数满足：，其中为虚数单位，则．

13．已知一个正方体的个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为.

14．如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为．

15．如图所示，在四边形中，已知，与以为直径的半圆相切于点，且，若，则；此时.

16．如图，在单位正方体中，点是线段上的动点，给出以下四个命题：

①异面直线与直线所成角的大小为定值；

②二面角的大小为定值；

③若是对角线上一点，则长度的最小值为；

④若是线段上一动点，则直线与直线不可能平行.

其中真命题有.

三、解答题

17．已知复数为虚数单位．

(1)若，求的值；

(2)若为实数，求的值．

(3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．

18．已知向量，，．

（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；

（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

19．在中，角，，所对的边分别为，，.已知.

(1)求的值：

(2)若，的周长为，求的面积.

20．如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点E，F分别是，的中点.

(1)若点M为线段中点，求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在，求二面角的余弦值.

条件①：；

条件②：；

条件③：；

注：如果选择条件不能使四棱锥存在得零分.

21．对于三维向量，定义“F变换”：，其中，，，.记，.

(1)若，求及；

(2)证明：对于任意，经过若干次F变换后，必存在，使；

(3)已知，，将再经过m次F变换后，最小，求m的最小值.

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《北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

B

A

A

A

C

B

A

1．B

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【详解】解：在复平面内，复数所对应的点在第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2．D

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】设小正方形的边长为，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

，

因为，所以.

故选：D

3．D

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若，，则与平行或相交，故A错误；

对于B：若，，则或，故B错误；

对于C：若，，则与平行或相交，故C错误；

对于D：若，，根据面面垂直