高等数学平面及其方程.pptxVIP

第五节平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角第七章

平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。这里先介绍平面的点法式方程：

一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．添加标题1法线向量的特征：添加标题2垂直于平面内的任一向量．添加标题3已知添加标题4设平面上的任一点为添加标题5必有添加标题6

平面的点法式方程其中法向量已知点若取平面的另一法向量此时由于平面方程为平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．

解取所求平面方程为化简得

一般地01过不共线的三点02的平面的法向量03平面方程为04——三点式方程

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为01此式称为平面的截距式方程.02时,03平面方程为04分析:利用三点式05按第一行展开得06即07

解化简得取法向量所求平面方程为

平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程法向量

平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.

解由平面过原点知设平面为所求平面方程为

（其中设平面为将三点坐标代入得解则平面与三轴分别交于、、）

平面的截距式方程代入所设方程得将

设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解

谢谢观赏化简得令代入体积式所求平面方程为

例6求过点且平行于z轴的平面方程.解一用点法式设所求平面的法向量为则由点法式得，所求平面的方程为即

解二用一般式因平面平行于z轴，故可设平面方程为在平面上解得所求平面方程为即由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：两定——定点，定向

三、两平面的夹角（通常取锐角）定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.

//两平面夹角余弦公式按照两向量夹角余弦公式,可以得出：两平面位置特征：

解两平面相交，夹角例7研究以下各组里两平面的位置关系：

两平面重合.两平面平行但不重合．两平面平行两平面平行

例8一平面过点且垂直于平面求其方程。解设所求平面的法向量为在所求平面上又所求平面与已知平面垂直解得代入点法式方程并整理得

四、点到平面距离公式解

例10.解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成四面体的球面方程.则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为从而

平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结

作业P3302,6,7,9