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第五章常用概率分布

二项分布二项分布的概念与特征一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏:每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。先后摸5次，摸到黄球次数为0、1、2、3、4和5的概率分别是多大？

该实验有三个特点：是各次摸球是彼此独立的；是每次摸球只有二种可能的结果，黄球或白球；是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。

例5-1用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为π。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？010102因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。02

医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为?，阴性结果的发生概率均为（1－?）；而且各个观察对象的结果是相互独立的：

二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。

例5-2临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？

表5-1治疗3例可能的有效例数及其概率有效人数(x)?x(1－?)n-x出现该结果概率P(x)010.60=10.4×0.4×0.40.064130.60.4×0.40.288230.6×0.60.40.432310.6×0.6×0.60.400.216

由表5-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即?P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=0.936也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936

二项分布的特征二项分布的图形特征?接近0.5时，图形是对称的；图5-1?离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图5-2当n→∞时，只要?不太靠近0或1，当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。二项分布图形取决于?与n，高峰?=n?处

二项分布图5-1π=0.5时,不同n值对应的二项分布

二项分布图5-2π=0.3时,不同n值对应的二项分布

二项分布的均数和标准差01总体均数：02方差：03标准差：04

010203如果将出现阳性结果的频率记为总体均数：标准差：

例5-4研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。

二项分布的应用概率估计例5-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（5-1）和（5-2）

可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为

01单侧累积概率计算02二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为出现阳性的次数至少为k次的概率为

例5-6例5-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？

logo根据公式（5-10）至多有2名感染钩虫的概率为至少有2名感染钩虫的概率为

至少有20名感染钩虫的概率为

研究非遗传性疾病的家族集聚性非遗传性疾病的家族集聚性(clusteringinfamilies)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。

例5-7某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表5-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。

表5-1患病数据资料与二项分布拟合优度的2c检验X（1）实际户数A（2）概率P(X)（3）理论户数T=82P(X)（4）AT-（5）2)(AT-（6）TAT2)(-（7）0260.1326510.8774-15.1226228.693621.02471100.3823531.352521.3525455.927314.54202280.3673530.12292.12294.50690.14963180.