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湖南省长沙市雅礼中学2025届模拟试卷（三）数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2.若复数满足，则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若随机变量，且，则的最小值为（????）

A．18 B． C．24 D．27

5．已知，且，则（????）

A． B．

C． D．

6．已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（???）

A． B． C． D．

7.如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（????）

A． B． C． D．

8.三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（???）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9．已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（???）

A．该组数据的分位数为

B．该组数据的中位数小于其平均数

C．若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等

D．若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍

10．记为数列的前项和，已知则（????）

A．2025是数列中的项

B．数列是公比为2的等比数列

C．

D．若，则数列的前项和小于

11.已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（???）

A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4

C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为.

13.已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为.

14.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是．

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

如图，在三棱柱ABC－DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点．

(1)求证：平面GED；

(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A－CE－B的余弦值．

16.(本小题满分15分)

已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点(2，eq\r(2))．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A，B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1－S2|的最大值．

17.(本小题满分15分)

一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站，…，第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6).

(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；

(2)求证：{}(n＝1，2，…，99)为等比数列；

(3)求玩该游戏获胜的概率.

18.(本小题满分17分)

已知的角所对应的边为，，.

（1）若，求；

（2）若，求；

（3）在（2）的条件下，求证：.

19．(本小题满分17分)

已知数列，，记集合的元素个数为.

(1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值；

(2)若为1，3，a，b，且，求和集合；

(3)若数列项数为，满足（），求证：“”的充要条件是“为等比数列”.