专题突破七：一元二次方程中新定义问题20题 2024－2025学年浙教版数学八年级下册（教师版）-A4.docxVIP

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1．对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（???）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】A

【详解】解：根据题意得，

整理得，

，

方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

2．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（????）

A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6

【答案】B

【详解】解：，

∴，

∴或，

解得：，，

∵总有两个不相等的实数根，

∴，

解得，

∵n是正整数，

∴，2，3，4，5，6，

∵方程是“倍根方程”，

∴3能被整除或能被3整除，

∴或5．

故选：B．

3．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由题意得，，

，

是关于的方程的根，

是方程的根，

，

，

，

；

故选：A．

4．定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（??）

A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

【答案】A

【详解】解：根据题意得，

整理得，

∵，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

5．对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（???）

A．或4 B．2或 C．2或4 D．或

【答案】A

【详解】解：∵

∴

∴

∴

解得：，

故选：A．

6．在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值为．

【答案】5

【详解】解：由题意得：，即

∴或

解得：（舍去）或．

故答案为：5．

7．对于实数，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是．

【答案】

【详解】解：∵，

∴，整理得，，

∴，

解得，，

∴实数的值是，

故答案为：．

8．定义：关于的一元二次方程的两根之和x1+x2与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．

（）写出方程的“再生韦达方程”．

（）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程”．

【答案】（答案不唯一）

【详解】解：（）由方程得，，

∴，，

∴，，

∴方程的“再生韦达方程”为，

即，

故答案为：；

（）由题意可得，

∴，

即，

∴，，

∴方程的一个根为，另一个根为，

∴符合题意的一元二次方程可以为，即，

故答案为：．

9．将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为．

【答案】

【详解】解：，

，

，

，

，

表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为，

故答案为：．

10．对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解．

【答案】

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

解得

11．定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．

(1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．

①；②；③．

(2)若是“邻根方程”，求n的值．

(3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．

【答案】(1)①③(2)或(3)

【详解】（1）解：①解方程得，，

∵，

∴方程是“邻根方程”；

②解方程得，

∵，

∴方程是“邻根方程”；

③解方程得，，

∵，

∴方程是“邻根方程”．

故答案为：①③．

（2）解：解方程得：，，

∵该方程是“邻根方程”，

∴或，解得或．

（3）解：∵一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，

∴设方程的两个根，则，，，，

由得，

∴，即，

∴．

12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．

例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”．

(1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______．

(2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．

(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由．

【答案】(1)不是，(2)或(3)

【详解】（1）解