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备战2025高考数学考前必备1——知识再现

集合

(1)集合间的关系与运算A∪B＝A?B?A；A∩B＝B?B?A.(2)子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1,2n－1,2n－2.

(3)集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．

全称量词命题、存在量词命题及其否定

(1)全称量词命题：?x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题：?x∈M，?p(x)．(2)存在量词命题：?x∈M，p(x)，其否定为全称量词命题：?x∈M，?p(x)．(3)命题与其否定真假相反．

充分条件与必要条件的三种判定方法

定义法：若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A?B，则p是q的充分条件

(q是p的必要条件)；若A?B，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q

的充要条件．

等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．4．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ0，Δ＝0，Δ0三种情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小．

一元二次不等式的恒成立问题

?a?0

ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是???

? 0

?a?0

ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是??? .

? 0

分式不等式

f(x)

g(x)

f(x)

0(0)?f(x)g(x)0(0)；

?f(x)g(x)?0(?0)

?g(x)≥0(≤0)??g(x)?0 .

?

基本不等式(1)基本不等式：

a?b

2

≥ab(a0，b0)，当且仅当a＝b时，等号成立．

基本不等式的变形：

①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；

②(a?b)2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．

2

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数?b＝0；

②z是虚数?b≠0；

③z是纯虚数?a＝0且b≠0.(2)共轭复数

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数z＝a－bi.(3)复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2.(4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

除法：(a＋bi)÷(c＋di)

ac＋bd

bc－adi(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R)

＝

复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.

＋

c2＋d2

c2＋d2

(2)

1?i1?i

＝i，

1?i1?i

＝－i.

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．3．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

向量a与b的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作→＝a，→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b

OA OB

?

的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是

记作a⊥b.

平面向量的数量积

若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a