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HPM视角下数学课堂生成性资源的应用

摘??要：在日常教学中，课堂上经常会生成不在教师预设范围内的被动型资源.教师应该在HPM视角下，审视每一种被动型资源生成的根源，既对课堂上随机产生的被动型生成资源从更高的角度解读，又可有针对性地开展教学预设，从知识技能与情感态度等方面促进主动型资源的生成.

关键词：HPM;分式方程;数学运算;生成性资源

在课堂教学中，常常出现一些不在教师预设范围内的被动型资源.例如，分式方程（人教版八年级下册）第一课时教学的课堂中，出现了一些不同于“去分母”的解法.面对这些生成性资源，教师需要思考：“学生为何这样做？”“应当怎样应用这些资源？”“学生的这些解答给教师的教学带来怎样的启示？”即在HPM（数学史与数学教育）的视角下，审视每一种被动型资源产生的根源，既对课堂上随机产生的被动型生成资源从更高的角度解读，又可针对性地开展教学预设，从知识技能与情感态度等方面促进主动性资源的生成.

一、生成性资源的产生与呈现

本课解方程的例题为[9030+v=6030-v].教学中，学生有以下5种不同于课本“去分母”的解法.

解法1：交叉相乘，原方程转化为90（30-v）=60（30+v）.

解法2：移项，进行减法运算，得[900-150v（30+v）（30-v）=0].由分式的值为零的条件，得900-150v=0且（30+v）（30-v）≠0.

解法3：利用分式的基本性质，将原方程化为[18060+2v=18090-3v].由分子相同，得分母相同，即60+2v=90-3v.

解法4：分式两边通分，得[90（30-v）（30+v）（30-v）]

[=60（30+v）（30+v）（30-v）]，由分母相同，得分子相同，即90（30-v）=60（30+v）[1].

解法5：[75+1530+v=75-1530-v]，观察分子与分母的结构发现[7530=15v]，得v=6.

以上5種解法都能得到正确的结果，这些解法对学生此前的学习经验有很好展示，但都不是课本要求的“去分母”解法.

二、生成性资源的成因与分析

（一）比例性质的干扰（解法1）

比例式实质上是一种特殊的等式，变形依据也是等式性质.但应用比例基本性质（即“交叉相乘”）解分式方程时，两边同乘的是两分母之积，并不一定是最简公分母.例如，分式方程[1x-5=10x2-25]，运用“交叉相乘”，将会得到一元二次方程.而运用“去分母”，则得到的是一元一次方程，即“去分母”的步骤中包含着“判断最简公分母”的环节，体现数学“最优化”的思想.

（二）完美解法的重现（解法2）

解法2曾被誉为分式方程的完美解法，最早是由宾夕法尼亚大学的数学家费舍和施瓦特提出来的.他们在1898年《代数课本》中给出分式方程的通用解法：“移项将分式方程一边化为零，另一边通分后化为最简分式，得到原方程的同解方程[P（x）Q（x）=0].此时，分式方程同解于多项式方程[P（x）=0]，此方法不需要对结果进行检验.”[2]所以，解法2是历史重现.

（三）先驱之误[3]45的警示（解法3）

解法3、4都是在保留分式结构的层面上解决问题，并未将其转化为整式方程来解决，所以运算比去分母复杂，这是二者共性的缺点.解法4与“去分母”一样可能产生增根，解法3则容易失根.

例如以下变形：[2x-14（x-5）（x-9）][=]

[2x-14（x-8）（x-6）][?]（x-5）（x-9）=（x-8）（x-6）[?][x2-14x+45][=x2-14x+48].这一变形实际包含着将方程左右两边同时除以（2x-14）的步骤，而2x-14=0时方程恰好成立，违背等式性质中“同乘除的数不能为零”的要求，从而漏掉x=7这个解.

英国盲人数学家桑德森也犯过类似的错误，他在《代数学基础》一书中，给出一个分式方程的解法：[42xx-2=35xx-3][?][42x-2][=][35x-3?]

[42（x-3）=35（x-2）?x=8]，这一解法明显漏了x=0这个根[3]46.

（四）几何代数的融合（解法5）

如果把解法5用图形的方式表示出来，就可以用图1来解释.

如图1，S矩ABCD=90，S矩AGHD=60，边GE=EB=v，AE=DF=30，AB=30+v，AG=30-v，[9030+v=6030-v]表示矩形的面积与边长的比值AD=BC，由S矩AEFD=75，AE=30，得到AD=[52]，从而求得v=6.

这种解分式方程的方法叫作几何代数法.在《几何原本》第2卷中有着丰富的几何代数内容，斐波那契在《计算之书》中曾频繁使用这种方法[3]292.解法5就是斐波那契在这本书中介绍的方法.

三、生成性资源的利用与改进

从前文的分析发现，学生的几种不同解法很有代表性，有3种解法都与数学史有关，为保证学生能在