材料力学(I)第五章.pptxVIP

§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分第5章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6梁内的弯曲应变能§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4梁挠曲线的初参数方程

5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。

弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：

直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。

顺时针转向的转角?为正，逆时针转向的转角?为负。在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分I.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。

注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有

从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q=w沿x方向的变化率，是有正负的。12

再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w?2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程

II.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件01求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为02后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。03

当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。

边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。

若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。

例题5-1试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。

1.列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为通过两次积分得(b)例题5-1解:

例题5-12.确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程转角方程挠曲线方程由(3)、(4)两式得该梁的边界条件为：在x=0处w=0，w=0将C1和C2代入(3)、(4)两式，得

根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。转角方程挠曲线方程(c)例题5-1

由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得2.求qmax和wmax(c)例题5-1

由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。例题5-1

4.因为，是在x向右为正、y向下为正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也必须用这样的坐标系。例题5-1

思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？

例题5-2试求图示简支梁的挠曲线方程和转角