2025年全国高中数学联赛一试模拟试题（一）第11题解法探究：和差化积与积化和差公式.pdfVIP

2025年全国高中数学联赛一试模拟试题（一）第11题

解法探究：和差化积与积化和差公式

（2025年全国高中数学联赛一试模拟试题（一）11）

设α,β∈R,已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n,求

tanα+tanβ.

由(cosα+cosβ)+(sinα+sinβ)=2+2cos(α-β),22

得

22

n+m=2+2cos(α-β),

n+m-222

解得cos(α-β)=,

2

n+m-22222

由-1≤≤1得0≤n+m≤4,

2

由(cosα+cosβ)-(sinα+sinβ)22

=cos2α+cos2β+2cos(α+β)

=2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)

=2cos(α+β)[1+cos(α-β)],得

22

n-m=2cos(α+β)[1+cos(α-β)],

22

∴cos(α+β)=n-m22,

n+m

α+βα-β

sinα+sinβ2sin2cos2

由=

cosα+cosβα+βα-β

2coscos

22

α+β

sin2α+β

==tan得

α+β2

cos

2

α+βm

tan=(n≠0),

2n

解法一：（利用两角和的正切公式的变形）

sinαsinβ

tanαtanβ=

cosαcosβ

1

2[cos(α-β)-cos(α+β)]

=

1

2[cos(α+β)+cos(α-β)]

cos(α-β)-cos(α+β)

=

cos(α+β)+cos(α-β)

n+m-2n-m2222

-

2n+m22

=

n-mn+m-22222

n+m22+2

2222222

(n+m)-2(n+m)-2(n-m)

=

222