专题20离心率的3个二级结论（三轮冲刺）必备二级结论.docxVIP

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二级结论20??离心率的3个二级结论（考前必会结论）

【结论介绍】

知识背景

离心率是刻画椭圆和双曲线的一个重要参数，在椭圆中，它刻画椭圆的“扁平”程度，在双曲线中，它刻画双曲线的“开阔”程度．

椭圆、双曲线的第三定义的延伸结论

若是椭圆或双曲线上关于原点对称的两个点，是椭圆或双曲线上异于的点，为椭圆或双曲线的离心率，则当，的斜率存在时，（椭圆）或（双曲线）．

共焦点的椭圆和双曲线的离心率

已知椭圆与双曲线有公共焦点，，二者的离心率分别为，，且为椭圆与双曲线的一个公共点，，则有如下结论．（1）;(2);(3)

椭圆和双曲线的焦点弦定比分点公式

焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，若，则圆锥曲线的离心率满足：（1）当时，；

（2）当时，（此情形只在双曲线中存在）．

注：对于焦点在轴上的圆锥曲线，其他条件不变，则所得公式中的变为

【结论用途】

应用类型一圆锥曲线第三定义的应用

【典例1】[2022全国甲卷]椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（????）

A．????????B．????????C．????????D．

【解析】方法一：，设，则，

则由，得

由，得，所以，即，

所以椭圆的离心率，故选A．

方法二：二级结论法??设椭圆的右端点为，连接，

记椭圆离心率为，由椭圆的对称性知，

故，由椭圆的第三定义得，

【用结论】知两条直线斜率之积求离心率，联想到椭圆的第三定义得．故选A．

【典例2】已知双曲线C：的左?右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为（）

A．????B．????C．2????D．3

【解析】方法一：设，则，因为，，

故，即，

∴.

方法二：用结论，所以离心率.

故选：C.

应用类型二共焦点的椭圆和双曲线的离心率

【典例4】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，曲线和在第一象限内相交于点，且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是_____．

【解析】方法一：设椭圆，双曲线，

椭圆与双曲线的半焦距为，椭圆离心率，双曲线离心率．

不妨设分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，

所以，

在中，由余弦定理可得

，

即，所以，

因为，所以，

可得，故．故填．

方法二：二级结论法??依题意可设椭圆和双曲线的离心率分别为，

因为，所以．

根据结论，

[用结论：“共焦点”的椭圆和双曲线的离心率问题，考虑直接应用结论建立等量关系，本题还可以利用求解]，

得，所以，得．故填．

【典例5】[2025湖南师大附中9月模拟]已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限内的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为_____．

【解析】方法一：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，连接，如图．

由椭圆和双曲线的性质知，

因为四边形为平行四边形，所以

又，所以，

即，所以，

所以，

当且仅当时取等号．所以的最小值为．

方法二：二级结论法??依题意可知，即，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

应用类型三椭圆和双曲线的焦点弦定比分点公式

【典例5】已知是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率为_____．

【解析】方法一：不妨取为椭圆的上顶点，如图，则，连接，

因为，所以，即，所以，所以，

又，所以．

方法二：二级结论法??设直线的倾斜角为，则，

则，所以由，即，

又，所以．

【典例6】已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（）

A．????B．????C．????D．

【解析】方法一：由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为，

设，

因为，所以，

得，即

联立，得，

所以，，①

，②

由①②可得，又因为得，且，

得，，

所以双曲线的离心率.

方法二：因为，则，

用结论，所以双曲线的离心率.

故选：B

一、单选题

1．已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围

【分析】设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，可得齐次方程，可得答案.

【详解】设，，则l的方程为，

由，得，

设，，则，①．

因为，所以②．

由①②可得，再结合，，得，解得．

故选：B.

2．已知椭圆：（）的上顶点为，左、