中学最短距离专题.docVIP

龙文教育学科导学案

教师:刘宇学生:年级日期:星期:时段:

学情分析

课题

最短路线问题

学习目标与

考点分析

熟悉常见最短路线问题

学习重点

寻找关键点

学习方法

启发式教学并结合练习

学习内容与过程

最短路线问题

考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

饮马问题

如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最短路线。

造桥选址问题

如图①，河的同侧有两个村庄A、B，两个村庄的距离之和最短，码头C应建在什么位置？

〔1〕假设把河岸近似的看成直线a，请在图②中画出码头C的位置；〔不要求写出作法，保存简单作图痕迹〕

〔2〕请说明为什么你在图②中选定的码头C的位置符合AC+BC最短；

〔3〕如果A、B在河的两侧〔如图③〕，要在河上修建一座桥〔桥必须与河岸垂直〕，桥应建在何处，才能使A到B的路程最短？请画出图形，并说明理由.

台阶问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

圆柱问题

有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

变式1：有一圆柱形油罐，油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯〔无盖〕，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

正方体问题

如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外外表爬到顶点B的最短距离是〔〕.

〔A〕3〔B〕〔C〕2〔D〕1

长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C1处〔三条棱长如下图〕，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

几何中最短路线问题

模型1：“两点一线”

“和最小”模型

〔1〕、直线L的同侧有两点A、B，在L上求一点C，使CA+CB最小。

作法：①取点A关于直线L的对称点A1，

②连结A1B与L交于C，点C即为所求。

〔2〕、直线L的两侧有两点A、B，在直线L上求一点C，使CA+CB最小。

作法：连结AB交L于C，此点C即为所求。

“差最大”模型

〔1〕直线L的同侧有两点A、B，在直线L上求一点C，使CB与CA的差最大。

作法：连结BA并延长交直线L于点C，那么此点C即为所求。

〔2〕直线L的异侧有两点A、B，在直线L上求一点C，使CB与CA的差最大。

作法：①取点A关于直线L的对称点啊A`，

②连结A`B与L交于C，点C即为所求。

模型2：“一点两线”

直线L1和L2相交于点P，在直线L1和L2的交角内有一点A，在直线L1、L2上分别求一点B、C，使线段AB、BC、CA的和最小。

作法：①取点A关于直线L1的对称点A1，点A关于直线L2的对称点A2。

②连结A1A2分别交直线L1、L2于B、C两点。

③连结AB、AC，此时AB与BC、AC的和最小。

点B、C即为所求。