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CS598CSC：近似算法讲座日期：2011年1月19日

讲师：ChandraChekuri记录员：NitishKorula（2009年）

讲师于2011年编辑的笔记。

1引言/行政事务

•课程网站：/class/sp11/cs598csc/。

•推荐书籍：

–《近似算法设计》DavidShmoys和DavidWilliamson著，

剑桥大学出版社，2011年出版。可在http:

///上免费获取。

–《近似算法》VijayVazirani著，Springer-Verlag出版，2004年。

•6个作业集，前3个必做。后3个作业集可以用项目替代。

课程目标

1.要认识到不可解决问题并非都相同。NP优化问题，在精确可解性方面相同，但在近似解的

角度上可能非常不同。.这解释了为什么在实践中，某些优化问题（如背包问题）很容易，

而其他问题（如团问题）非常困难。

2.通过一些基本问题，学习设计和分析近似算法的技术。

3.构建一个可以用来解决各种问题的广泛适用的算法/启发式工具包。

4.理解优化问题之间的约简，并培养将新问题与已知问题相关联的能力。

复杂度类P包含可以在多项式时间内解决的问题集合。

从理论角度来看，这描述了可处理问题的类别，即可以高效解决的问题。类NP是可以在非确定

性多项式时间内解决的问题集合，或者等价地说，可以在多项式时间内验证解的问题。

NP包含许多在实践中经常出现的有趣问题，但有充分的理由相信P=NP。也就是说，解决N

P优化问题的算法很可能不存在，因此我们经常采用启发式方法来解决这些问题。

启发式方法包括回溯有哪些信誉好的足球投注网站及其变体、数学规划方法、局部有哪些信誉好的足球投注网站、遗传算法、禁忌有哪些信誉好的足球投注网站、模拟退

火等。有些方法保证找到最优解，尽管可能需要指数时间；而其他方法保证在多项式时间内运行

，尽管可能无法返回最优解。近似算法属于后一类；然而，尽管它们不能找到最优解，我们可以

对找到的解的质量给出保证。

近似比

要对解的质量给出保证，首先必须定义我们所说的解的质量。我们将在下一讲中更仔细地讨论这

个问题；现在，请注意每个优化问题的每个实例都有一组可行解。我们考虑的优化问题具有一个

目标函数，它为每个实例的每个可行解分配一个（实数/有理数）数值。目标是找到具有最小目标

函数值或最大目标函数值的可行解。前者是最小化问题，后者是最大化问题。

对于每个问题实例I，让OPT(I)表示最优解的值。我们说算法A是问题的α-近似算法，如

果对于每个实例I，A返回的可行解的值在OPT(I)的乘法因子α内。等价地，我们说A是一个

近似算法，其近似比率为α。对于最小化问题，我们有α≥1，对于最大化问题，我们有α≤1。

然而，在文献中，我们经常会发现对于最大化问题有一个不同的约定，即如果A返回的可行解的

1

值至少为α·OPT(I)，则称A是一个α-近似算法；使用这个约定的原因是为了使最小化和最大

化问题的近似比率都大于等于1。在这门课程中，对于最小化问题，我们将大部分时间使用α≥1

的约定，对于最大化问题，我们将使用α≤1的约定。

备注：

1.对于最小化问题的算法，近似比是算法返回的解的值与最优解之间的比值的最大值（或上确

界），在问题的所有实例上。因此，它是算法的最坏情况性能的一个界限。

2.近似比α可以依赖于实例I的大小，因此严格来说，应该写作α(|I|)。

3.一个自然的问题是近似比是否应该以加法的方式定义。

例如，对于最小化问题，如果一个算法输出的可行解的值对于所有的I都不超过OPT(I)+α

，则该算法具有α-近似。这是一个有效的定义，在某些情况下更相关。然而，对于许多NP

问题来说，很容易证明由于缩放问题，无法获得任何有趣的加法近似（除非当然P=NP）

。我们将在后面的例子中说明这一点。

近似方法的优点和缺点：

近似方法的一些优点包括：