高等数学(下册)知识点及习题辅导PPT.pptxVIP

高等数学下（B）复习课2012-5-18

二元函数（定义域、函数关系）二元函数偏导数二元函数的全微分求法二元函数的二阶偏导数二元函数的全微分多元复合函数的求导法则隐函数的偏导数和全微分几个重要关系二元函数极值考点概览：第一部分多元函数微分学

（1）定义域

例1：

01函数关系02例2：解：直接代入法

01函数关系02解：03解04练习1：例3：

练习2：7函数关系解：换元法

2、二元函数的偏导数8

3、二元函数的偏导数的求法

附：一元函数的求导公式（须熟记）：

例02小结：函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，化成一元函数的求导.01

例例求偏导函数

4、二元函数的二阶偏导数

例

5、二元函数的全微分

例例

回忆：一元复合函数的求导法则——链式法则推广?01026、多元复合函数的求导法则

变量树图vu

例解

解例uvQ1Q2Q3Q4

练习：答案：答案：练习：

7、隐函数的偏导数和全微分

解：例

8、几个重要关系偏导数存在

的某邻域内连续,01有一阶及二阶连续偏导数,02处是否取得极值的条件如下:0304有极值,05有极大值,06有极小值;0708没有极值;0910可能有极值,11也可能无极值.129、二元函数极值

求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.

的极值。01.解01.求解方程组：01.得驻点01.因此，驻点01.例求函数

因此，驻点因此，驻点

二重积分的概念几何意义1二重积分的简单性质2二重积分的定限3直角坐标系下交换积分次序4在直角坐标系下计算二重积分5在极坐标系下计算二重积分6考点概览：第二部分二重积分

1、二重积分的概念及几何意义曲顶柱体体积=引例．曲顶柱体的体积D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).?

二重积分的几何意义

性质１线性(二重积分与定积分有类似的性质)性质2对积分区域的可加性质.2.二重积分的性质

性质3若为D的面积例：设D由直线解：练习：P4四、2

设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质4则D1为D在第一象限中的部分,坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于

如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,1为上半圆域04D2为右半圆域05练习：P4四、3，4设D为圆域(如图)

性质5(比较性质)设则C例：比较的大小,则()练习：P5四、6，7

3.利用直角坐标系计算二重积分在区间上连续.其中函数(1)积分区域为：X－型

先对y后对x的二次积分称为累次积分.

(2)积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.

练习：熟练掌握练习册上相应习题

注：在直角坐标系下计算二重积分（1个解答题）

01交换积分次序的步骤将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;0203

01例02解03原式=交换积分次序：

P1练P2例

4、利用极坐标系计算二重积分极坐标系中的面积元素

（1）极坐标系下的积分定限53

（2）极坐标系下计算二重积分

例

微分方程的基本概念阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断题，选择题）会求解可分离变量方程和一阶线性方程（2个解答题：2个可分离变量方程或1个可分离变量方程1个一阶线性方程）考点概览：求简单微分方程的通解、特解或积分曲线（选择、填空题）第三部分微分方程

如01未知函数是一元函数的方程为02方程中所出现的导数(或微分)的最高阶数称03微分方程:04常微分方程(ODE);05微分方程的阶.06一阶07一阶08二阶091、微分方程的基本概念

代入微分方程能使方程成为恒等式的函数微分方程的解的分类通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.特解确定了通解中任意常数以后的解.如方程通解特解通常用来确定任意常数的条件为：初值条件微分方程的解:

0102030405060708解的图象通解的图象微分方程的积分曲线.积分曲线族.几何意义是过定点的积分曲线;一阶例

2、一阶微分方程考点：辨别三类一阶微分方程

43如果可以写成如下形式或21可分离变量的方程或（1）可分离变量方程

一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;齐次的;非齐次的.一阶（2）