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线性定常连续系统状态方程解

求解状态方程是进行动态系统分析与综合基础,是进行定量分析主要方法。

本节讲授状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述定系数常微分方程解理论。

下面基于矩阵代数运算状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。

该概念对我们深刻了解系统动态特征、状态变迁(动态演变)等都是非常有帮助,对该概念必须准确掌握和深入了解。;在讨论普通线性定常连续系统状态方程解之前,先讨论线性定常齐次状态方程解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。

所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)作用,满足方程解齐次性。

研究齐次状态方程解就是研究系统本身在无外力作用下自由(自治)运动。

所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项作用,状态方程解对输入含有非齐次性。

研究非齐次状态方程解就是研究系统在外力作用下强迫运动。;线性定常齐次状态方程解

什么是微分方程齐次方程?

齐次方程就是指满足解齐次性方程，即若x是方程解，则对任意非零实数a,ax亦是该方程解。

所谓齐次状态方程，即为以下不考虑输入方程

x’=Ax

齐次状态方程满足初始状态;对上述齐次状态方程,惯用常微分方程求解方法有

级数展开法

拉氏变换法;1.级数展开法

在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程

在初始时刻t0=0解。

该方程中x(t)为标量变量,a为常数。

由常微分方程理论知,该方程解连续可微。

所以,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有

式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。;将所设解代入该微分方程,可得

假如所设解是方程真实解,则对任意t,上式均成立。

所以,使t有相同幂次项各项系数相等,即可求得

令x(t)解表示式中t=0,可确定

q0=x(0)

所以,x(t)解表示式可写为;上述求解标量微分方程级数展开法,可推广至求解向量状态方程解。

为此,设其解为t向量幂级数,即

x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…

式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。

将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得

q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)

假如所设解是方程真实解,则对任意t,上式均成立。

所以,???t有相同幂次项各项系数相等,即可求得;若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定

q0=x(0)=x0

所以,状态x(t)解可写为

该方程右边括号里展开式是n×n维矩阵函数。

因为它类似于标量指数函数无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为;利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程解可写为：

x(t)=eAtx0;2．拉氏变换法

若将对标量函数拉氏变换定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数各个元素求对应拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换方法求解齐次状态方程解。

对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得

sX(s)-x0=AX(s)

于是可求得该齐次状态方程解x(t)拉氏变换为

X(s)=(sI-A)-1x0;对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程解为

x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0

下面讨论怎样求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。

主要思想为将标量函数拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。

对标量函数,我们有;将上述关系式推广到矩阵函数则有;所以,基于上述(sI-A)-1拉氏反变换,该齐次方程解为

x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0=eAtx0

上述拉氏反变换法求解结果与前面级数展开法求解结果一致。

若初始时刻t0?0,对上述齐次状态方程解作坐标变换,则可得解另一个表述形式:;为讨论方便,引入能描述系统状态转移特征线性定常连续系统状态转移矩阵以下:

?(t)=eAt

所以,有以下关系式

x(t)=?(t)x0=?(t-t0)x(t0)

由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程解,系统状态转移矩阵有以下关系

?(t)=L-1[(sI-A)-1];齐次状态方程解描述了线性定常连续系统自由运动。

由解表示式能够看出,系统自由运动轨线是由从初始时刻初始状态到t时刻状态转移刻划,如图3-1所表示。;当初始状态给定以后,系统状态转移特征就完全由状态转移矩阵所决定。

所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动全部信息。

可见,状态转移矩阵计算是齐次状态方程求解关键。;解(1)首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为;(3)状态方程解为;线性定常连续系统状态转移矩阵

下面深入讨论前面引入状态转移矩阵,主要内容为:

基本定义

矩阵指数函数和状态转移矩阵性质;1.基本定义

定义对