9空间几何体的表面积和体积.doc

高三新数学第一轮复习教案（讲座9）—空间几何体的表面积和体积

一．课标要求：

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

三．要点精讲

1．多面体的面积和体积公式

名称

侧面积(S侧)

全面积(S全)

体积(V)

棱

柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h(S上底+S下底+)

正棱台

(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

S侧

2πrl

πrl

π(r1+r2)l

S全

2πr(l+r)

πr(l+r)

π(r1+r2)l+π(r21+r22)

4πR2

V

πr2h(即πr2l)

πr2h

πh(r21+r1r2+r22)

πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：

由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x2+y2+z2=16

即l2=16

所以l=4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。

（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

图1图2

解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

（2）∵AM=AA1cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，

∴A1O=，平行六面体的体积为。

题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3．（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）

A．2 B．3 C．6 D．

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴S△AEF=S,

V1=h(S+S+)=Sh

V2=Sh-V1=Sh，

∴V1∶V2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：锥体的体积和表面积

PABCDOE例5．（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60

P

A

B

C

D

O

E

解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB