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导数的应用

导数的应用举例1解:(1)由已知f?(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于f(x)在[-1,2]上的最大值小于m.单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞).23设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间;(2)当x?[-1,2]时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.12令f?(x)0得-x1;23令f?(x)0得x-或x1.23∴y=f(x)的单调递减区间是(-,1);2323令f?(x)=0得x=-或1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5,12f(-)=5,232722∴f(x)在[-1,2]上的最大值为7.∴7m.故实数m的取值范围是(7,+∞).

导数的应用举例2解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).∴当a0时,f?(x)0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数;设f(x)=x+1-aln(x+1),a?R,且a?0,取e=2.7.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.2(x+1)x+1-2a=.又f?(x)=-2x+11x+1a当a0时,令f?(x)0得-1x4a2-1;令f?(x)0得x4a2-1.∴当a0时,f(x)在(-1,4a2-1)上为减函数,在(4a2-1,+∞)上为增函数.综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);当a0时,f(x)的单调递减区间为(-1,4a2-1),单调递增区间为(4a2-1,+∞).

导数的应用举例2由(1)知g(x)在(-1,3)上为减函数,设f(x)=x+1-aln(x+1),a?R,且a?0,取e=2.7.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较x+1与ln(x+1)的大小,并加以证明.解:(2)x+1ln(x+1),证明如下:=2-ln40.∴g(x)≥g(3)0.即x+1ln(x+1).设g(x)=x+1-ln(x+1),又g(3)=3+1-ln(3+1)在(3,+∞)上为增函数,

导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x?[a+1,a+2]时,恒有|f?(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(1)由已知f?(x)=-x2+4ax-3a2,∵0a1,∴a3a.令f?(x)=0得x=a或x=3a.当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f?(x)-0+0-f(x)?极小值?极大值?由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-∞,a)和(3a,+∞).当x=a时,f(x)取极小值f(a)=-a3+b;43当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.

导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x?[a+1,a+2]时,恒有|f?(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(2)∵0a1,∴2aa+1.∴f?(x)max=f?(a+1)=2a-1,∴f?(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上为减函数.f?(x)min=f?(a+2)=4a-4.∵当x?[a+1,a+2]时,恒有|f?(x)|≤a,即-a≤f?(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a且2a-1≤a.解得≤a≤1.45又0a1,故a的取值范围是[,1).45

导数的应用举例4已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,