2024-2024学年上海华二附中高三下学期数学冲刺1.docx

PAGE

PAGE1

华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷

2025.5

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则．

2．已知等比数列的公比为，共前项和为，若，则．

3．已知，且，则的最小值为．

4．已知均为锐角，则．

5．已知函数则不等式的解集是．

6．的展开式中项的系数为．

7．已知向量，则在方向上的投影是．

8．已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，表示事件＂由甲罐取出的球是黑球＂，表示事件＂由乙罐取出的球是黑球＂，则．

9．如图所示，在中，是边上的一点，，则的长为．

10．《周髀算经》中＂侧影探日行＂一文有记载：＂即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．＂意为：＂取竹空这一里筒，当里筒直径是一寸，筒长是八尺时（注；一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．＂如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为．

（第10题）（第11题）

11．已知线段长为4，直线过点且与垂直．以为圆心，1为半径的圆绕旋转一周，所得立体记为．以分别为上下底面的圆心，1为底面半径的圆柱体记为（如图）．则根据祖相原理，与的体积之比为．

12．给定常数，定义函数，已知数列满足，是正整数；且数列是等差数列，则首项的取值范围是．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．若，则不等式成立的一个充要条件是（）.

A．B．C．D．

14．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）.

A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差

B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1

C．若，则事件相互独立

D．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第50百分位数为4

15．在复平面内，到复数对应的点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是（）.

A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线

16．在平面直角坐标系中，设和分别是曲线和且上的动点，记，则对于以下两个结论：

①当且仅当时成立；

②当且仅当存在实数，使时成立．则下列判断正确的是（）.

A．（1）错（2）错B．（1）错（2）对C．（1）对（2）错D．（1）对（2）对

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图所示，在四棱锥中，

是正三角形．

（1）求证：平面底面；

（2）由点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数．

（1）根据实数的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，且．

19．（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．

某小吃店的服务窗口的为每位顾客现场制作美食，从每份食物开始制作到取到事物的时间进行统计，结果如下：

制作食品所需的时间（分）

1

2

3

4

5

频率

0.05

0.45

0.35

0.1

0.05

假设每个顾客取到食品所需的制作时间互相独立，且都是整数分钟．从第一个顾客等待取食品开始计时．

（1）根据表中数据，试估算第一个顾客取到食品所需的平均等待时间；

（2）求事件＂恰好4分钟后，第二个顾客取到食品＂的经验概率；

（3）若随机变量表示＂至第2分钟末，已取到食品的顾客人数＂，求的分布及数学期望；

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知椭圆与双曲线的一条渐近线交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的圆心在椭圆上，半径为．当过原点且与圆相切的两条直线的斜率均存在时，求证：这两条切线的斜率乘积为定值；

（3）设双曲线的左右焦点分别为和，是否在轴上方存在两点和同时满足如下三个条件：

①和分别在双曲