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垂径定理的逆定理

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。条件结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧●OABCDM└

垂径定理●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①CD为直径②CD⊥AB⑤CD平分弧ADB③CD平分弦AB④CD平分弧AB结论

②CD⊥AB,AB是⊙O的一条弦（非直径）,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗探究一：

如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

CD⊥AB,垂径定理的逆定理一AB是⊙O的一条弦(非直径),且AM=BM.过点M作直径CD.●OCD由CD是直径AM=BM可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.●AB┗平分弦（）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.M不是直径

例１、已知：⊙O中，AB为弦，D为AB中点，OC交AB于C，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.⌒

①CD是直径,AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.且CD⊥AB于点M，●OCD与圆心有何位置关系？还有什么结论？为什么？CD由②CD⊥AB于M③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗探究二：

垂径定理的逆定理二弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧●O由②CD⊥AB于M③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗CD①CD是直径,

例2、若D是BC的中点AD⊥BC,BC=24,AD=9,求⊙O的半径。OABCD

通过前面的两个探究，你发现了什么？

●OCD②CD⊥AB于M①CD是直径,③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗比如还有如下正确结论：

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备01过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧02上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论03找到本质：04

再梳理一下：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。添加标题1垂径定理的逆定理：添加标题2（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧添加标题3（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧添加标题4（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧添加标题5垂径定理添加标题6

例3、如图所示，C是AB的中点，OC交AB于点D，AB=6cm,CD=1cm求⊙O的半径长ABCDO

练习一、判断正误：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。???ABCDO(1)ABCD?O(2)ABCD?O(3)

(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???ABC?O(4)ABCD?O(5)ABCD?O(6)E

练习二、已知⊙o的半径为2cm，弦AB的长为2求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。

练习三、如图所示,⊙o的直径长4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于点P，CD=2求∠APC的度数。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。请你想一想：可以得到垂径定理的多少个逆定理呢？垂径定理记忆