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高维矢量内积与外积——畅想系列

鲍祥平

前言：

我们知道在三维空间两矢量的内积

∙b，，∙，，=cos

=111222++=，

121212

b

其中α为与的夹角，其内积为标量即数量；而在高维空间里，我们可以用同样的方

式定义内积。但是高维空间外积的定义就比三维空间复杂得多，三维空间里对于两个不共线

的向量求与之分别正交或分别垂直的向量是唯一的，高维的情形非常复杂也没有具体的空间

用图形加以描述，只能经过数学方法进行分析。比如四维空间-0中垂直于-0平面

的直线经过数学分析就有无限多个，其中就包括和轴，为了实际的需要必须找出一个

轴为代表我们称其为正交轴，因此在高维空间有必要把垂直与正交分开来看，它们不是完全

相同的概念。为了找出高维空间正交轴我们必须建立相应的算法，我们称其为向量外积。

例（1）：为了求四维空间中任意选取的三个不共面的向量1，2，3，4，−4，−

2，3，1，10，−8，6，5b，c，d

的正交向量（，）我们通常是利用矩阵求代数余子

式的方式求出

abcd

12341234

其行列式

−4−231−4−231

10−86510−865

234

i+j

（−1）

当我们令的值就等于其代数余子式−23172，

−865

134

i+j

b（−1）

同理的值就等于其代数余子式−431117，注意前面的负号，

1065

124

i+j

（−1）

同理的值就等于其代数余子式−4−21266，

10−85

123