高中数学北师大版讲义(必修二)第26讲5.2.2复数的乘法与除法(4知识点+8题型+强化训练)(学生版+解析).docxVIP

PAGE/NUMPAGES

5.2.2复数的乘法与除法

课程标准

学习目标

1、理解复数代数形式的乘、除法运算，复数范围内一元二次方程的解法

2.掌握灵活运用复数除法法则解决相关问题

1、掌握复数的乘、除法的运算法则以及复数乘法的运算律，并能运用运算法则与运算律解决相关问题。

2．掌握共轭复数的应用以及在复数范围内一元二次方程的解法。

3、在学习过程中，感受运算法则的合理性，感受事物是不断变化和发展的。

知识点01复数的乘法与乘方

1、复数乘法运算法则

两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

显然两个复数的积仍是复数．

2、复数乘法的运算律

对于任意z1、z2、z3∈C，有

(1)z1·z2＝z2·z1(交换律)；

(2)z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；

(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．

注意：实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．

3、复数的乘方

复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．

即对复数z1、z2、z和自然数m、n有

(1)zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．

(2)i为虚数单位，则i

注意：实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．

【即学即练1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知复数z=1+2

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

知识点02共轭复数的性质

复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：

1、两个共轭复数的对应点关于实轴对称且|z|＝|z|；

2、实数的共轭复数是它本身，即z＝z(z∈R)?z是实数；

3、z·z＝|z|2＝|z|2；

4、(Z

5、z=-Z且Z≠0?z是纯虚数；

6、z=

7、z+z=2a,z-z=2bi;z·z=a

8、z

【即学即练2】（多选）（20-21高一下·浙江·期末）已知z=a+bia,b∈R为复数，z

A．z2=z

C．若z2为纯虚数，则a=b≠0 D．复数z是实数的充要条件是

知识点03复数的除法

1、复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称1Z

2、复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的值，并记作z=z1z2（或z=z1÷z2），z1

3、规定两个复数除法的运算法则：

(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝(a+bi)(c?di)(c+di)(c?di)＝ac+bd+(bc?ad)ic2+d2＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．

注意：在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．

4、复数除法的性质：

(1)两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．

(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是进行复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．

(3)设z1、z2为任意复数，则(eq\f(z1,z2))＝eq\f(z1,\x\to(z)2)(z2≠0)．

【即学即练3】（23-24高一下·云南昆明·期中）若复数z满足1+2iz=4+3i

A．?2+i B．?2?i C．2+i

知识点04实数系一元二次方程在复数范围内的解集

1、根的判定

当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，

当4=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；

当4=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当=b2-4ac0时，方程有两个互为共轭的虚数根.

2、根与系数的关系

如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-?ba，x1x2=

【即学即练4】（22-23高一·全国·课后作业）?i所有的三次方根为

【题型一：简单的乘法运算】

例1.（23-24高一下·福建宁德·期中）已知复数z=i1+i

A．?1?i B．?1+i C．1?i

变式1-1.（23-24高一下·重庆·期中）1?i

A．1?i B．1+3i C．3?i

变式1