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备战中考数学专题16二次函数的应用【知识点及十大题型】
【题型1方案选择问题】
【题型2拱桥问题】
【题型3隧道问题】
【题型4喷泉问题】
【题型5球类飞行轨迹问题】
【题型6空中跳跃轨迹问题】
【题型7最大利润问题】
【题型8图形动问题】
【题型9图形面积问题】
【题型10现实生活问题】
【知识点二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时,要遵循一审.二设.三列.四解的方法:
第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系;
第2步:设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量;
第3步:列函数。根据各个量之间的关系列出函数;
第4步:求解。求出满足题意的数值。
【题型1方案选择问题】
【例1】(2023-山东潍坊•统考二模)2023年国际风筝会期间,某经销商准备采购一批风筝,已知用20000
元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍,一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进
价多20元.
(1)求一只A,B型风筝的进价分别为多少元?
(2)经市场调查发现:A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130,5型风筝的售价为120元/只.该
经销商计划购进A,B型风筝共300只,其中A型风筝m(50m150)H,若两种风筝能全部售出,求销
售这批风筝的最大利润,并写出此时的采购方案.
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元,一只B型风筝的进价为80元;
(2)当购进50只A型风筝,80只8型风筝时,销售这批风筝的利润最大,最大利润为13000元.
【分析】(1)设一只A型风筝的进价为x元,一只8型风筝的进价为Q+20)元,根据“用20000元采购A
型风筝的只数是用8000元采购8型风筝的只数的2倍”列分式方程,解之即可求解;
(2)设销售这批风筝的利润为w元,根据题意得w=-2(m-30)2+13800,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】(1)解:设一只A型风筝的进价为尤元,一只8型风筝的进价为(x+20)元,
rprr.|(日石4曰200008000仁
根据题息得布=丁乂2,
解得x=80,
经检验,%=80是所列方程的解,且符合题意,
Ax+20=80+20=100,
答:一只A型风筝的进价为100元,一只B型风筝的进价为80元;
(2)解:设销售这批风筝的利润为w元,
根据题意得:w=[2(130-m)-100]m+(120-80)(300一m)=-2m2+120m+12000,
整理得w=-2(m-30)2+13800,
V-20,50m150
..•当m=50时,w取得最大值,最大值为13000,此时130m=13050=80,
答:当购进50只A型风筝,80只8型风筝时,销售这批风筝的利润最大,最大利润为13000元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分
式方程;(2)利用二次函数的性质求出最大利润.
【变式1-1】(2023-河北邯郸•校考三模)九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的
围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰
直角三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,如图所示,最佳方案是()
方案1方案3
A.方案1B.方案2C.方案3D.面积都一样
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质,分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可.
【详解】解:方案1:^AD=x米,则4B=(82x)米,
D
AB
方案1
则菜园面积=%(8-2%)=-2x2+8/=-2(%-2)2+8,
当x=2时,此时菜园最大面积为8平方米;
方案2:如图,AB=AC=4,
..・菜园面积为8平方米;
方案3:半圆的半径为兰米,
71
・••此时菜园最大面积==—(平方米)
271
・.•兰>8,
71
・.・方案3的菜园面积最大,
.••在三种方
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